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马尔科夫链的粗粒化 (查看源代码)

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这也是它和 EI 的一个重要差别：EI 只能度量行向量之间的分布相似性，而动力学可逆性 <math>\Gamma_\alpha</math> 还能捕捉线性依赖关系。换句话说，两个状态的出流模式可以彼此很不像，但只要在代数上是冗余的，<math>\Gamma_\alpha</math> 仍能识别出来。

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~~算法的基本流程如下：~~

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算法的基本流程见“近似动力学可逆性”一节。

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~~# 给定含有 <math>N</math> 个状态的马尔科夫矩阵 <math>P</math>，对其做 SVD 分解 <math>P = U \Sigma V^T</math>；~~

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~~# 根据奇异值谱设定阈值 <math>\epsilon</math>，保留前 <math>r_\epsilon</math> 个右奇异向量，构成 <math>V_{N \times r_\epsilon}</math>；~~

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~~# 对 <math>P</math> 的行向量做投影：<math>\tilde{P} = P \cdot V_{N \times r_\epsilon}</math>，得到每个状态在“核心通路”子空间中的表示；~~

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~~# 对 <math>\tilde{P}</math> 的行向量用 K-Means 聚类为 <math>r_\epsilon</math> 组，得到划分 <math>\Phi</math>；~~

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# 基于划分 <math>\Phi</math> 和稳态流矩阵 <math>F = \mathrm{diag}(\pi) P</math>，通过 <math>F' = \Phi^T F \Phi</math> 构建宏观稳态流矩阵，再对每行归一化得到宏观转移矩阵 <math>P'</math>。

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这里的投影 <math>\tilde{P}</math> 可以理解为：只保留转移矩阵中最主要的几条信息通道，把冗余或近乎无效的方向滤掉，再按照这些主导模式来归组状态。最后用 <math>F' = \Phi^T F \Phi</math> 而不是直接对 <math>P</math> 做行列聚合，是为了保证粗粒化与时间演化尽可能可交换，从而使宏观动力学仍然是合法的马尔科夫链。

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虽然它与前面的 Zhang & Wang 方法都包含 “SVD + K-Means” 这一步，但两者的目标不同：前者更关心从稳态流结构中恢复成块划分，后者更关心删除 TPM 中的冗余信道。相应地，前者分解的是 <math>F=\mathrm{diag}(\pi)P</math>，因此天然带有稳态权重；后者直接分解 <math>P</math>，更强调转移矩阵本身的线性冗余结构。

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~~<br/>~~

==其他方法==

Jake

行政员、界面管理员、管理员

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