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==='''非线性系统的线性化失效'''===

==='''非线性系统的线性化失效'''===

对于一般的非线性系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>，[[不动点]] <math>\mathbf{x}^*</math> 附近的局部动力学行为通常可通过线性化系统来近似判定。根据'''[[哈特曼-格罗伯曼定理]]'''（'''Hartman-Grobman Theorem'''），仅当平衡点特征值实部非零（双曲平衡点）时，非线性系统的局部拓扑才与其线性化系统同胚。对于特征值为纯虚数的临界情形，线性化方法失效。此时，平衡点附近的真实拓扑结构取决于高阶非线性项。

对于一般的非线性系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>，[[不动点]] <math>\mathbf{x}^*</math> 附近的局部动力学行为通常可通过线性化系统来近似判定。根据'''[[哈特曼-格罗伯曼定理]]'''（'''Hartman-Grobman Theorem'''），仅当平衡点特征值实部非零（双曲平衡点）时，非线性系统的局部拓扑才与其线性化系统同胚<ref>Hartman,P.(1960)."On the local linearization of differential equations." Proc.AMS.</ref>。对于特征值为纯虚数的临界情形，线性化方法失效。此时，平衡点附近的真实拓扑结构取决于高阶非线性项。