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→随机吸引子和对应分组
从长期行为看，马尔科夫链中的状态可以先分成两类：'''滑过态（Transient）'''和'''常返态（Recurrent）'''。滑过态只是在过渡阶段被访问，离开后最终可能不再返回；常返态则会被反复访问。常返态进一步组成'''闭合常返类'''：同一类中的状态彼此可达，而且一旦进入该类就不会再离开。若一个常返类的返回步数存在公因子 <math>d>1</math>，它还可以继续分解为 <math>d</math> 个'''周期子类'''，系统按固定顺序在这些子类之间循环。
从长期行为看，马尔科夫链中的状态可以先分成两类：'''滑过态（Transient）'''和'''常返态（Recurrent）'''。滑过态只是在过渡阶段被访问，离开后最终可能不再返回；常返态则会被反复访问。常返态进一步组成'''闭合常返类'''：同一类中的状态彼此可达，而且一旦进入该类就不会再离开。若一个常返类的返回步数存在公因子 <math>d>1</math>，它还可以继续分解为 <math>d</math> 个'''周期子类'''，系统按固定顺序在这些子类之间循环。
===随机吸引子和对应分组===
在稳态或长时间视角下，随机吸引子给出的不是任意聚类，而是一种按照'''长期命运'''进行的自然划分：会进入同一个闭合常返类的状态、处在同一个周期相位中的状态，或者只承担过渡作用的滑过态，应该被区别对待。若这些集合被看作宏观态，我们就可以尝试构造宏观转移矩阵。这里需要区分两种情况。
第一种是'''强成块意义下的宏观转移矩阵'''。对宏观组 <math>A_a,A_b</math>，如果同组内任意微观状态 <math>i\in A_a</math> 到目标组 <math>A_b</math> 的总转移概率相同，则可以直接定义
<math>
P'_{ab}=\sum_{j\in A_b}P_{ij},\quad i\in A_a.
</math>
第二种是'''稳态流意义下的宏观转移矩阵'''。如果一个划分只是在稳态分布下才有意义，那么更自然的做法不是直接平均 <math>P_{ij}</math>，而是先使用稳态流矩阵 <math>F_{ij}=\pi_iP_{ij}</math> 聚合概率流：
<math>
F'_{ab}=\sum_{i\in A_a}\sum_{j\in A_b}\pi_iP_{ij}.
</math>
此时 <math>F'_{ab}</math> 是从宏观态 <math>A_a</math> 流向 <math>A_b</math> 的稳态概率流量，还不是转移概率。若 <math>\pi'_a=\sum_{i\in A_a}\pi_i>0</math>，则对应的宏观转移概率应为
<math>
P'_{ab}=\frac{F'_{ab}}{\pi'_a}
=\frac{\sum_{i\in A_a}\sum_{j\in A_b}\pi_iP_{ij}}{\sum_{i\in A_a}\pi_i}.
</math>
这说明，随机吸引子划分之所以可以看作一种粗粒化，是因为它把长期动力学中具有相同命运或相同周期相位的状态合并起来；但它并不自动保证所有临时划分都成块。特别是滑过态在稳态分布下概率质量为 0，此时 <math>\pi'_a=0</math>，无法通过稳态流归一化定义其宏观出流。因此，滑过态通常更适合作为过渡区单独处理，或者按照其到各吸引子的吸收概率和转移模式进一步细分，而不能无条件地把所有滑过态合成一个稳态宏观态。
在稳态视角下，马尔科夫链常见有三种情形：
在稳态视角下，马尔科夫链常见有三种情形：
* '''不可约、非周期'''：整个状态空间形成唯一的平凡吸引子 <math>A(\omega)=X</math>。这说明系统的长期活动遍及整个空间，因此随机动力学本身并不给出更细的自然分组。比如
<math>
P=\begin{pmatrix}
1/2&1/2&0\\
1/4&1/2&1/4\\
0&1/2&1/2
\end{pmatrix}.
</math>
这个链不可约且有自环，所以是非周期的。随机吸引子是全集 <math>X=\{1,2,3\}</math>。若按吸引子粗粒化，只有一个宏观态 <math>A=X</math>，对应的宏观转移矩阵为 <math>P'=(1)</math>。这是一种平凡粗粒化，说明不可约非周期链本身没有由吸引子诱导出的非平凡分组。
* '''可约'''：设 <math>S=T \cup R_1 \cup \cdots \cup R_m</math>，其中 <math>T</math> 是滑过态集，<math>R_i</math> 是闭合常返类。此时每个 <math>R_i</math> 都对应一个确定性的吸引子 <math>A_i=R_i</math>。系统一旦进入某个闭合常返类，就不会再离开。比如
<math>
P=\begin{pmatrix}
1/3&1/3&1/3&0&0\\
1/3&1/3&1/3&0&0\\
1/3&1/3&1/3&0&0\\
0&0&0&1&0\\
0.6&0&0&0.4&0
\end{pmatrix}.
</math>
其中 <math>R_1=\{1,2,3\}</math> 和 <math>R_2=\{4\}</math> 是两个闭合常返类，<math>T=\{5\}</math> 是滑过态。若为了描述过渡阶段而保留滑过态，按 <math>\{T,R_1,R_2\}</math> 的顺序粗粒化，可以得到
<math>
P'=\begin{pmatrix}
0&0.6&0.4\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}.
</math>
这个例子中，宏观态 <math>R_1</math> 和 <math>R_2</math> 都是吸引子：一旦进入就出不去；滑过态 <math>T</math> 只描述进入吸引子之前的过渡。若只看稳态分布，<math>T</math> 的概率质量最终为 0，系统只会停留在某个闭合常返类内；此时稳态流归一化只能在具有正稳态质量的闭合常返类上定义，例如在 <math>\{R_1,R_2\}</math> 上得到吸收型宏观动力学。前文 <math>1/3,1/3,1/3,0</math> 加吸收态的 4 状态例子，就可以看作这里去掉滑过态后的特例：前三个状态构成一个吸引子，最后一个状态构成另一个吸引子。
* '''不可约、周期为 <math>d>1</math>'''：状态空间可分解为 <math>X=C_0 \cup C_1 \cup \cdots \cup C_{d-1}</math>，并按 <math>C_0 \to C_1 \to \cdots \to C_{d-1} \to C_0</math> 循环。此时吸引子不再是固定不动的闭合集合，而是随时间在周期子类之间切换的非平凡随机吸引子。比如
<math>
P=\begin{pmatrix}
0&0&1/2&1/2\\
0&0&1/2&1/2\\
1/2&1/2&0&0\\
1/2&1/2&0&0
\end{pmatrix}.
</math>
该链不可约，但周期为 2。状态空间可分为 <math>C_0=\{1,2\}</math> 和 <math>C_1=\{3,4\}</math>，系统每一步都在两个周期类之间来回跳转。按 <math>\{C_0,C_1\}</math> 粗粒化后，宏观转移矩阵为
<math>
P'=\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}.
</math>
因此，周期情形下的“吸引子分组”不是“进入某个吸引子后永远停在里面”，而是保留系统的周期相位：从一个周期类必然转到下一个周期类。若只看稳态分布，两个周期类的总概率可以保持不变；但从单条轨道看，宏观态仍然会周期性跳转。
所以，随机动力学的意义不只是重新表述马尔科夫链，而是把'''长期命运相同的状态'''显式区分出来：常返类、周期类和滑过态之间的边界，本身就提供了一种值得优先尊重的粗粒化基准。详细的数学公式和证明可参考[[马尔科夫链中的随机动力学]]。
所以，随机动力学的意义不只是重新表述马尔科夫链，而是把'''长期命运相同的状态'''显式区分出来：常返类、周期类和滑过态之间的边界，本身就提供了一种值得优先尊重的粗粒化基准。详细的数学公式和证明可参考[[马尔科夫链中的随机动力学]]。
==不同粗粒化方法之间的异同==
==不同粗粒化方法之间的异同==