175
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第12行：
第12行： + + 第17行：
第19行： − − [[文件:线性中心扰动.png|缩略图|右|图1：非线性中心扰动|480px]] 第33行：
第33行： + + − − [[文件:非线性系统线性化失效典型情形.png|缩略图|图2：非线性系统线性化失效典型情形]]
→中心的非线性扰动
为直观展示高阶非线性项如何破坏线性中心，考虑经典的二维非线性[[动力系统]]：
为直观展示高阶非线性项如何破坏线性中心，考虑经典的二维非线性[[动力系统]]：
:<math>\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -y + ax(x^2+y^2) \\[6pt] \dot{y} = x + ay(x^2+y^2) \end{array} \right.</math>
:<math>\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -y + ax(x^2+y^2) \\[6pt] \dot{y} = x + ay(x^2+y^2) \end{array} \right.</math>
[[文件:线性中心扰动.png|缩略图|右|图1：非线性中心扰动|480px]]
对该系统在坐标原点 (0,0) 处进行[[雅可比矩阵]]线性化，其近似线性系统的[[特征值]]为纯虚数 <math>\lambda = \pm i</math>。
对该系统在坐标原点 (0,0) 处进行[[雅可比矩阵]]线性化，其近似线性系统的[[特征值]]为纯虚数 <math>\lambda = \pm i</math>。
但要揭示其非线性局部拓扑结构，需利用极坐标变换
但要揭示其非线性局部拓扑结构，需利用极坐标变换
:<math>\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{array} \right.</math>
:<math>\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{array} \right.</math>
*
*
该经典实例表明，当动力系统处于纯虚数特征值的临界状态时，其相图拓扑极度脆弱，局部的真实稳定性完全由极微小的高阶非线性扰动（本例中的 <math>a r^3 </math> 项）所主导。
该经典实例表明，当动力系统处于纯虚数特征值的临界状态时，其相图拓扑极度脆弱，局部的真实稳定性完全由极微小的高阶非线性扰动（本例中的 <math>a r^3 </math> 项）所主导。
[[文件:非线性系统线性化失效典型情形.png|缩略图|图2：非线性系统线性化失效典型情形]]
此外，以下两类典型的非双曲边界情形也极易发生定性改变（见图2）：
此外，以下两类典型的非双曲边界情形也极易发生定性改变（见图2）：
==== 退化结点 ====
==== 退化结点 ====