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:<math>\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -y + ax(x^2+y^2) \\[6pt] \dot{y} = x + ay(x^2+y^2) \end{array} \right.</math>

:<math>\left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -y + ax(x^2+y^2) \\[6pt] \dot{y} = x + ay(x^2+y^2) \end{array} \right.</math>

[[文件:线性中心扰动.png|缩略图|右|图1：非线性中心扰动|480px]]

[[文件:非线性中心扰动.png|缩略图|右|图1：非线性中心扰动|480px]]

对该系统在坐标原点 (0,0) 处进行[[雅可比矩阵]]线性化，其近似线性系统的[[特征值]]为纯虚数 <math>\lambda = \pm i</math>。

对该系统在坐标原点 (0,0) 处进行[[雅可比矩阵]]线性化，其近似线性系统的[[特征值]]为纯虚数 <math>\lambda = \pm i</math>。

=== 几何连续性与极限环的区别 ===

=== 几何连续性与极限环的区别 ===

非线性中心的核心几何特征在于其闭轨的连续分布性。在中心的一个充分小的邻域内，除平衡点本身外，所有的相轨线均是嵌套的闭合周期轨线，构成一个连续统（Continuum）。这一特征将其与[[极限环]]（Limit Cycle）区分开来：极限环同为闭合周期轨线，但它是孤立的，即在极限环的充分小邻域内不存在其他闭合轨线。中心结构通常代表系统处于无耗散的局部保守状态，而极限环多出现于耗散系统中，是能量输入与耗散达到动态平衡的结果。

非线性中心的核心几何特征在于其闭轨的连续分布性。在中心的一个充分小的邻域内，除平衡点本身外，所有的相轨线均是嵌套的闭合周期轨线，构成一个连续统（Continuum）。这一特征将其与[[极限环]]（Limit Cycle）区分开来：极限环同为闭合周期轨线，但它是孤立的，即在极限环的充分小邻域内不存在其他闭合轨线。中心结构通常代表系统处于无耗散的局部保守状态，而极限环多出现于耗散系统中，是能量输入与耗散达到动态平衡的结果。

=== 拓扑特征与庞加莱指数 ===

=== 拓扑特征与庞加莱指数 ===