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==== 示例：无阻尼钟摆 ====

==== 示例：无阻尼钟摆 ====

无阻尼钟摆的非线性本质通过小角度的近似值<math>sin𝜃 ≈ 𝜃</math>被忽略。利用相图的分析钟摆旋转到顶部这一大角度的区域，在缺少阻力和外部吸引力的情况下，钟摆由下式决定：

无阻尼钟摆的非线性本质通过小角度的近似值<math>\sin\theta\approx\theta</math>被忽略。利用相图的分析钟摆旋转到顶部这一大角度的区域，在缺少阻力和外部吸引力的情况下，钟摆由下式决定：

[[文件:钟摆.png|缩略图|右|图4：无阻尼钟摆|right|280px]]

[[文件:钟摆.png|缩略图|右|图4：无阻尼钟摆|right|280px]]

:<math>\dot{\theta} = v, \quad \dot{v} = -\sin\theta.</math>

:<math>\dot{\theta} = v, \quad \dot{v} = -\sin\theta.</math>

该系统在变换 <math>\tau \to -\tau</math>，<math>v \to -v</math> 下保持不变，因此是可逆的。不动点 <math>(\theta^*, v^*) = (0,0)</math> 处的雅可比矩阵为 <math>\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math>，特征值为 <math>\pm i</math>，故为线性中心。根据可逆系统的非线性中心定理，<math>(0,0)</math> 也是一个非线性中心，对应钟摆在最低点的微小摆动。此外，系统也具有守恒量 <math>E = \frac{1}{2}v^2 - \cos\theta</math>，且 <math>(0,0)</math> 是 <math>E</math> 的局部极小值点，这从保守系统的角度也印证了该结论。

该系统在变换 <math>\tau \to -\tau</math>，<math>v \to -v</math> 下保持不变，因此是可逆的。不动点 <math>(\theta^*, v^*) = (0,0)</math> 处的雅可比矩阵为 <math>\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math>，特征值为 <math>\pm i</math>，故为线性中心。根据可逆系统的非线性中心定理，<math>(0,0)</math> 也是一个非线性中心，对应钟摆在最低点的微小摆动。此外，系统也具有守恒量 <math>E = \frac{1}{2}v^2 - \cos\theta</math>，且 <math>(0,0)</math> 是 <math>E</math> 的局部极小值点，这从保守系统的角度也印证了该结论。

== 参见 ==

== 参见 ==