更改

在动力系统理论中，[[中心]]（Center）这一概念最初起源于对纯[[线性系统]]相空间轨线的定性分类。1881年，法国数学家[[庞加莱]]（Henri Poincaré）在创立微分方程定性理论时，首次根据系统矩阵的特征值性质，将二维平衡点划分为[[中心]]、[[焦点]]、[[结点]]与[[鞍点]]<ref>Poincaré, H. (1881). Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle. ''Journal de mathématiques pures et appliquées'', 375-422.</ref>，参见[[二维线性动力系统]]。按照该定义，当雅可比矩阵拥有一对纯虚数特征值 <math>\pm i\omega </math> 时，对应纯[[线性系统]]的平衡点即表现为[[线性中心]]。在相空间中，其轨线呈现为一族完美的同心圆或椭圆闭轨（见图2），代表着一种无耗散的理想周期振荡状态<ref>Strogatz, S. H. (2018). ''Nonlinear dynamics and chaos''. CRC press.</ref>。

在动力系统理论中，[[中心]]（Center）这一概念最初起源于对纯[[线性系统]]相空间轨线的定性分类。1881年，法国数学家[[庞加莱]]（Henri Poincaré）在创立微分方程定性理论时，首次根据系统矩阵的特征值性质，将二维平衡点划分为[[中心]]、[[焦点]]、[[结点]]与[[鞍点]]<ref>Poincaré, H. (1881). Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle. ''Journal de mathématiques pures et appliquées'', 375-422.</ref>，参见[[二维线性动力系统]]。按照该定义，当雅可比矩阵拥有一对纯虚数特征值 <math>\pm i\omega </math> 时，对应纯[[线性系统]]的平衡点即表现为[[线性中心]]。在相空间中，其轨线呈现为一族完美的同心圆或椭圆闭轨（见图2），代表着一种无耗散的理想周期振荡状态<ref>Strogatz, S. H. (2018). ''Nonlinear dynamics and chaos''. CRC press.</ref>。

==='''线性化方法'''===

===线性化方法===

对于一般非线性动力系统，<math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>，研究不动点<math>\mathbf{x}^* </math>附近局部动力学行为的标准手段是[[线性化方法]]。该方法通过在不动点处进行泰勒级数展开并忽略高阶项，将原系统近似简化为线性系统：

对于一般[[非线性动力系统]]，<math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>，研究[[不动点]]<math>\mathbf{x}^* </math>附近局部动力学行为的标准手段是[[线性化方法]]。该方法通过在不动点处进行[[泰勒级数展开]]并忽略高阶项，将原系统近似简化为[[线性系统]]：

<math>\dot{\mathbf{x}} \approx J(\mathbf{x}^*) (\mathbf{x} - \mathbf{x}^*)</math>

<math>\dot{\mathbf{x}} \approx J(\mathbf{x}^*) (\mathbf{x} - \mathbf{x}^*)</math>

其中<math> J(\mathbf{x}^*) </math>为[[雅可比矩阵]]。该方法利用线性系统的特征值性质，定性判定原非线性系统在不动点邻域内的拓扑结构与稳定性。

其中<math> J(\mathbf{x}^*) </math>为[[雅可比矩阵]]。该方法利用线性系统的[[特征值]]性质，定性判定原[[非线性系统]]在不动点邻域内的[[拓扑结构]]与[[稳定性]]。

==='''非线性系统的线性化失效'''===

==='''非线性系统的线性化失效'''===