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上一节说的可交换性给出了粗粒化最理想的要求：无论先在微观演化再粗粒化，还是先粗粒化再在宏观演化，最后得到的宏观分布都应当一致。但这个要求本身还不是一个方便检查的划分条件。对于马尔科夫链来说，成块性（Lumpability）正是可交换性的一个具体判据。我们在[[马尔科夫链的成块性]]词条中已证明，成块性和“对任意初始分布成立的精确可交换粗粒化”是等价的。

上一节说的可交换性给出了粗粒化最理想的要求：无论先在微观演化再粗粒化，还是先粗粒化再在宏观演化，最后得到的宏观分布都应当一致。但这个要求本身还不是一个方便检查的划分条件。对于马尔科夫链来说，成块性（Lumpability）正是可交换性的一个具体判据。我们在[[马尔科夫链的成块性]]词条中已证明，成块性和“对任意初始分布成立的精确可交换粗粒化”是等价的。

[[马尔科夫链的成块性]]最早由 Kemeny 和 Snell 在其 1969 年著作 ''Finite Markov Chains''<ref name=":1">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref> 中阐述。Lump 一词有“块”的意思。判断一条[[马尔科夫链]]是否可成块，就是判断是否存在一种状态划分，能够把原始链压缩成一条保留块间转移机制的简化链。换句话说，成块性回答的是：哪些微观状态可以被合并，而不会让宏观过程产生额外的记忆效应。这种划分需确保：虽然抹除了聚类内部状态的微观差异，但能精确保持块间转移机制。因此，成块性为状态空间的合理划分提供了严格的数学判据，也成为马尔科夫链维度约简中最常用的标准之一。

[[马尔科夫链的成块性]]最早由 Kemeny 和 Snell 在其 1969 年著作 ''Finite Markov Chains''<ref name=":1">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref> 中阐述。Lump 一词有“块”的意思。判断一条[[马尔科夫链]]是否可成块，就是判断是否存在一种状态划分，能够把原始链压缩成一条保留块间转移机制的简化链。换句话说，成块性回答了，哪些微观状态可以被合并，而不会让宏观过程产生额外的记忆效应。这种划分需确保在抹除聚类内部状态的微观差异后，仍能精确保持块间转移机制。因此，成块性为状态空间的合理划分提供了严格的数学判据，也成为马尔科夫链维度约简中最常用的标准之一。

成块性的原始定义比较复杂，详见[[马尔科夫链的成块性]]。这里我们介绍其充分必要条件，作为一个更直观的解析。在一些文献中，作者会直接使用这一通俗版解释，而且它与原定义之间存在充分必要条件关系<ref name=":1" />。

成块性的原始定义比较复杂，详见[[马尔科夫链的成块性]]。这里我们介绍其充分必要条件，作为一个更直观的解析。在一些文献中，作者会直接使用这一通俗版解释，而且它与原定义之间存在充分必要条件关系<ref name=":1" />。

===成块性的充分必要条件===

===成块性的充分必要条件===

设 <math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math> 为微观状态从[math]t-1[/math] 时刻 <math>s_k</math> 到[math] t[/math] 时刻 <math>s_m</math> 的转移（条件）概率；

设 <math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math> 为微观状态从 [math]t-1[/math] 时刻 <math>s_k</math> 到 [math]t[/math] 时刻 <math>s_m</math> 的转移（条件）概率；

设 <math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math> 为 [math]t-1[/math] 时刻的微观状态 <math>s_k</math> 到 [math]t[/math] 时刻的宏观状态 <math>A_i</math> 的转移（条件）概率（定义为从<math>s_k</math>到 <math>A_i</math> 内所有微观状态的条件概率之和）；

设 <math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math> 为 [math]t-1[/math] 时刻的微观状态 <math>s_k</math> 到 [math]t[/math] 时刻的宏观状态 <math>A_i</math> 的转移（条件）概率（定义为从<math>s_k</math>到 <math>A_i</math> 内所有微观状态的条件概率之和）；

作者<ref name=":1" />提出了判断一个马尔科夫链对'''给定划分 <math>A</math>''' 是否成块的充分必要条件为：

作者<ref name=":1" />提出了判断一个马尔科夫链对'''给定划分 <math>A</math>''' 是否成块的充分必要条件为：

'''对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都相同。也就是说，<math>A_i</math>里的每一个状态<math>s_k</math>转移到<math>A_j</math>中所有状态的转移概率之和是相同的。'''

'''对于任意一对 <math>A_i, A_j</math>，每一个属于 <math>A_i</math> 的状态 <math>s_k</math> 的 <math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math> 都相同。也就是说，<math>A_i</math> 里的每一个状态 <math>s_k</math> 转移到 <math>A_j</math> 中所有状态的转移概率之和是相同的。'''

{{NumBlk|:|

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</math>  

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是一个对角阵，对角线上的元素为每个 <math>A_i</math> 包括了多少个微观状态的计数，其逆矩阵就是把对角线上的元素全部取倒数。

是一个对角矩阵，对角线上的元素为每个 <math>A_i</math> 包括了多少个微观状态的计数，其逆矩阵就是把对角线上的元素全部取倒数。