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第932行： − + − − 我们用扩散方程 <math>\frac{d\psi}{d\tau}=-L\psi</math> 来描述网络的扩散过程，其中[[拉普拉斯矩阵]] <math>L=D-A</math> 描述网络的拓扑结构，<math>A</math> 是邻接矩阵，<math>D</math> 是[[度矩阵]]。扩散方程的解为 <math>\psi_{\tau}=e^{-\tau L}\psi_0</math>，体现了信息随时间的演化，其中 <math>e^{-\tau L}</math> 为时间演化算子，<math>[e^{-\tau L}]_{ij}</math> 表示经过时间 <math>\tau</math> 后从节点 <math>j</math> 到节点 <math>i</math> 的流量。 − − 利用[[配分函数]] <math>Z_{\tau}=Tr(e^{-\tau L})</math>，我们能量化矩阵的全局信息量。矩阵 <math>e^{-\tau L}</math> 的每个对角元 <math>[e^{-\tau L}]_{ii}</math> 是第 <math>i</math> 个节点的信息保留量，对所有对角元求和则能得到所有节点的信息保留量。 + + 第944行：
第942行： − + − − − − <br/>
→结合统计物理与机器学习的网络流方法
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===结合统计物理与机器学习的网络流方法===
===结合复杂网络配分函数与图机器学习的网络流方法===
本节介绍的方法主要参考文章<ref name='coarse-graining'>Zhang, Zhang, et al. "Coarse-graining network flow through statistical physics and machine learning." Nature Communications 16.1 (2025): 1605.</ref>。首先，我们用扩散方程 <math>\frac{d\psi}{d\tau}=-L\psi</math> 来描述网络的扩散过程，其中[[拉普拉斯矩阵]] <math>L=D-A</math> 描述网络的拓扑结构，<math>A</math> 是邻接矩阵，<math>D</math> 是[[度矩阵]]。扩散方程的解为 <math>\psi_{\tau}=e^{-\tau L}\psi_0</math>，体现了信息随时间的演化，其中 <math>e^{-\tau L}</math> 为时间演化算子，<math>[e^{-\tau L}]_{ij}</math> 表示经过时间 <math>\tau</math> 后从节点 <math>j</math> 到节点 <math>i</math> 的流量。
利用[[复杂网络的配分函数]] <math>Z_{\tau}=Tr(e^{-\tau L})</math>，我们能量化矩阵的全局信息量<ref name='coarse-graining'/>。矩阵 <math>e^{-\tau L}</math> 的每个对角元 <math>[e^{-\tau L}]_{ii}</math> 是第 <math>i</math> 个节点的信息保留量，对所有对角元求和则能得到所有节点的信息保留量。
通过[[图神经网络]]（[[GNN]]）的[[消息传递]]机制，得到每个节点的向量表征，对节点向量应用[[Softmax]]函数，得到分组矩阵 <math>S_{N\times M}</math>，其中元素 <math>s_{ij}</math> 表示节点 <math>i</math> 分到第 <math>j</math> 个超级节点的概率。
通过[[图神经网络]]（[[GNN]]）的[[消息传递]]机制，得到每个节点的向量表征，对节点向量应用[[Softmax]]函数，得到分组矩阵 <math>S_{N\times M}</math>，其中元素 <math>s_{ij}</math> 表示节点 <math>i</math> 分到第 <math>j</math> 个超级节点的概率。
通过 <math>\hat{A}=\frac{M}{N}S^{T}AS</math> 得到[[宏观邻接矩阵]] <math>\hat{A}_{M\times M}</math>，其中 <math>A_{N\times N}</math> 原始网络的邻接矩阵。归一化[[配分函数]] <math>\frac{Z}{N}</math> 的[[平均绝对误差]]（MAE）作为训练[[图神经网络]]的损失函数，通过[[梯度下降]]优化GNN的参数。
通过 <math>\hat{A}=\frac{M}{N}S^{T}AS</math> 得到[[宏观邻接矩阵]] <math>\hat{A}_{M\times M}</math>，其中 <math>A_{N\times N}</math> 原始网络的邻接矩阵。归一化[[配分函数]] <math>\frac{Z}{N}</math> 的[[平均绝对误差]]（MAE）作为训练[[图神经网络]]的损失函数，通过[[梯度下降]]优化GNN的参数。
网络规模从 <math>N</math> 压缩到 <math>N^{'}</math> 后，得到新的[[拉普拉斯矩阵]] <math>L^{'}</math> 和配分函数 <math>Z^{'}</math>，原始网络和压缩后的网络的配分函数的关系是 <math>Z=\gamma Z^{'}</math>，并且压缩后的配分函数和原始网络的配分函数要尽可能相似，不随时间变化而且误差最小。当 <math>\tau=0</math> 时，<math>Z=N,Z^{'}=N^{'}</math>，为了使之成立，<math>\gamma=\frac{N}{N^{'}}</math>，所以乘数的有效值为 <math>\frac{N}{N^{'}}</math><ref>Zhang, Zhang, et al. "Coarse-graining network flow through statistical physics and machine learning." Nature Communications 16.1 (2025): 1605.</ref>。
网络规模从 <math>N</math> 压缩到 <math>N^{'}</math> 后，得到新的[[拉普拉斯矩阵]] <math>L^{'}</math> 和配分函数 <math>Z^{'}</math>，原始网络和压缩后的网络的配分函数的关系是 <math>Z=\gamma Z^{'}</math>，并且压缩后的配分函数和原始网络的配分函数要尽可能相似，不随时间变化而且误差最小。当 <math>\tau=0</math> 时，<math>Z=N,Z^{'}=N^{'}</math>，为了使之成立，<math>\gamma=\frac{N}{N^{'}}</math>，所以乘数的有效值为 <math>\frac{N}{N^{'}}</math>。
马尔科夫链是描述状态仅依赖当前状态的[[随机过程]]，通过拉普拉斯矩阵与转移概率的关系，将上述方法应用到马尔科夫链中，在[[离散时间马尔科夫链]]中，转移概率矩阵为 <math>P</math>；在[[连续时间马尔科夫链]]中，<math>P(t)=e^{-tL}</math> 是经过时间 <math>t</math> 的转移概率矩阵。配分函数 <math>Z_t=Tr(e^{-tL})</math> 可以理解为马尔科夫链的所有状态的信息保留总和。
马尔科夫链是描述状态仅依赖当前状态的[[随机过程]]，通过拉普拉斯矩阵与转移概率的关系，将上述方法应用到马尔科夫链中，在[[离散时间马尔科夫链]]中，转移概率矩阵为 <math>P</math>；在[[连续时间马尔科夫链]]中，<math>P(t)=e^{-tL}</math> 是经过时间 <math>t</math> 的转移概率矩阵。配分函数 <math>Z_t=Tr(e^{-tL})</math> 可以理解为马尔科夫链的所有状态的信息保留总和。
进行稳态分析的时候，当 <math>t\rightarrow \infty</math> 时，<math>e^{-tL}</math> 的极限与[[稳态分布]]有关，配分函数的渐近行为反映链的长期信息保留特性。通过分析 <math>e^{-tL}</math> 的特征向量来识别马尔科夫链的状态聚类。
进行稳态分析的时候，当 <math>t\rightarrow \infty</math> 时，<math>e^{-tL}</math> 的极限与[[稳态分布]]有关，配分函数的渐近行为反映链的长期信息保留特性。通过分析 <math>e^{-tL}</math> 的特征向量来识别马尔科夫链的状态聚类。
===具有自非相似性的复杂网络的粗粒化方法===
===具有自非相似性的复杂网络的粗粒化方法===