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===结合复杂网络配分函数与图机器学习的网络流方法===

===结合复杂网络配分函数与图机器学习的网络流方法===

本节介绍的方法主要参考文章<ref name='coarse-graining'>Zhang, Zhang, et al. "Coarse-graining network flow through statistical physics and machine learning." Nature Communications 16.1 (2025): 1605.</ref>。首先，我们用扩散方程 <math>\frac{d\psi}{d\tau}=-L\psi</math> 来描述网络的扩散过程，其中[[拉普拉斯矩阵]] <math>L=D-A</math> 描述网络的拓扑结构，<math>A</math> 是邻接矩阵，<math>D</math> 是[[度矩阵]]。扩散方程的解为 <math>\psi_{\tau}=e^{-\tau L}\psi_0</math>，体现了信息随时间的演化，其中 <math>e^{-\tau L}</math> 为时间演化算子，<math>[e^{-\tau L}]_{ij}</math> 表示经过时间 <math>\tau</math> 后从节点 <math>j</math> 到节点 <math>i</math> 的流量。

本节介绍的方法主要参考文章<ref name='coarse-graining'>Zhang, Zhang, et al. "Coarse-graining network flow through statistical physics and machine learning." Nature Communications 16.1 (2025): 1605.</ref>，该方法结合了[[复杂网络上的统计物理]]方法与图神经网络方法，从而对[[复杂网络]]进行粗粒化。其核心思想是，粗粒化前后两个网络的[[配分函数]]应该保持不变，将二者的误差作为损失函数，训练一个[[图神经网络]]，从而提炼出如何将大网络转化为粗粒化的小网络的映射方法。之所以将复杂网络的配分函数作为一个重要的评价指标，是因为该函数不仅可以体现网络的拓扑结构特征，也能够反映网络的动力学特征，因而反映整体网络功能。实验证明，这套粗粒化网络的方法可以应用到大量的真实网络中，并得到了良好的效果<ref name='coarse-graining'/>。

利用[[复杂网络的配分函数]] <math>Z_{\tau}=Tr(e^{-\tau L})</math>，我们能量化矩阵的全局信息量<ref name='coarse-graining'/>。矩阵 <math>e^{-\tau L}</math> 的每个对角元 <math>[e^{-\tau L}]_{ii}</math> 是第 <math>i</math> 个节点的信息保留量，对所有对角元求和则能得到所有节点的信息保留量。

 

其次，利用[[复杂网络的配分函数]] <math>Z_{\tau}=Tr(e^{-\tau L})</math>，我们能量化矩阵的全局信息量<ref name='coarse-graining'/>。矩阵 <math>e^{-\tau L}</math> 的每个对角元 <math>[e^{-\tau L}]_{ii}</math> 是第 <math>i</math> 个节点的信息保留量，对所有对角元求和则能得到所有节点的信息保留量。

通过[[图神经网络]]（[[GNN]]）的[[消息传递]]机制，得到每个节点的向量表征，对节点向量应用[[Softmax]]函数，得到分组矩阵 <math>S_{N\times M}</math>，其中元素 <math>s_{ij}</math> 表示节点 <math>i</math> 分到第 <math>j</math> 个超级节点的概率。

通过[[图神经网络]]（[[GNN]]）的[[消息传递]]机制，得到每个节点的向量表征，对节点向量应用[[Softmax]]函数，得到分组矩阵 <math>S_{N\times M}</math>，其中元素 <math>s_{ij}</math> 表示节点 <math>i</math> 分到第 <math>j</math> 个超级节点的概率。