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=== SRT 与计算复杂性理论 ===

=== SRT 与计算复杂性理论 ===

在复杂性理论中，递归定理主要扮演'''证明工具'''的角色。复杂性类的许多分离与结构定理采用"带时钟的对角化"：让机器检查并躲开自己（或更早机器）的行为；当这种自躲藏需要程序援引自己的代码时，严格化的抓手正是 SRT。Breidbart 的"分裂递归集"构造显式调用递归定理，是这一路数的源头<ref name="breidbart1978">'''Breidbart, S. (1978).''' ''On splitting recursive sets''. Journal of Computer and System Sciences 17: 56–64.【复杂性类对角化中显式使用递归定理的"延迟构造"源头】</ref>；Schmidt 进一步把这类论证统一为"复杂性类的递归论结构"定理，其推论包括：除非 NP = P，NP 不等于 P 与 NP 完全类之并这类"可递归呈现类"的非平凡并<ref name="schmidt1985">'''Schmidt, D. (1985).''' ''The recursion-theoretic structure of complexity classes''. Theoretical Computer Science 38: 143–156. doi:10.1016/0304-3975(85)90217-8.【复杂性类对角化定理的递归论统一；推论：除非 NP=P，NP ≠ P ∪ {NP完全类}】</ref>。

在[[复杂性理论]]中，递归定理主要扮演'''证明工具'''的角色。[[复杂性类]]的许多分离与结构定理采用"带时钟的对角化"：让机器检查并躲开自己（或更早的机器）的行为；当这种自躲藏需要程序援引自己的代码时，严格化的抓手正是 SRT。Breidbart 的"[[分裂递归集]]"构造显式调用递归定理，是这一路数的源头<ref name="breidbart1978">'''Breidbart, S. (1978).''' ''On splitting recursive sets''. Journal of Computer and System Sciences 17: 56–64.【复杂性类对角化中显式使用递归定理的"延迟构造"源头】</ref>；Schmidt 进一步把这类论证统一为"[[复杂性类的递归论结构]]"定理，其推论包括：除非 [[NP = P]]，[[NP]] 不等于 [[P]] 与 NP 完全类之并这类"[[可递归呈现类]]"的非平凡并<ref name="schmidt1985">'''Schmidt, D. (1985).''' ''The recursion-theoretic structure of complexity classes''. Theoretical Computer Science 38: 143–156. doi:10.1016/0304-3975(85)90217-8.【复杂性类对角化定理的递归论统一；推论：除非 NP=P，NP ≠ P ∪ {[[NP完全类]]}】</ref>。

在[[曼纽尔·布卢姆|Blum]]的机器无关复杂性理论中，SRT 与对角化结合产生了一批"存在性"结果。代表性的一例：Helm 与 Young 回答了 Blum 的一个问题——存在这样的可计算函数，任何为它"换上更快的程序"的尝试都要付出程序尺寸爆炸的代价，且刻画这一代价的增长函数快于任何递归函数<ref name="helmyoung1971">'''Helm, J.; Young, P. (1971).''' ''On size vs. efficiency for programs admitting speed-ups''. Journal of Symbolic Logic 36.【回答 Blum 的问题：加速必然伴随尺寸爆炸，代价函数增长快于任何递归函数】</ref>。"加速与简洁不可兼得"由此成为定理而非格言。

在[[曼纽尔·布卢姆|Blum]]的机器无关复杂性理论中，SRT 与对角化结合产生了一批"存在性"结果。代表性的一例：Helm 与 Young 回答了 Blum 的一个问题——存在这样的可计算函数，任何为它"换上更快的程序"的尝试都要付出程序尺寸爆炸的代价，且刻画这一代价的增长函数快于任何递归函数<ref name="helmyoung1971">'''Helm, J.; Young, P. (1971).''' ''On size vs. efficiency for programs admitting speed-ups''. Journal of Symbolic Logic 36.【回答 Blum 的问题：加速必然伴随尺寸爆炸，代价函数增长快于任何递归函数】</ref>。"加速与简洁不可兼得"由此成为定理而非格言。

更微妙的是把 SRT '''本身'''复杂性化：把编号限制到多项式时间的程序族上，SRT 还成立吗？困难出在证明的两个枢纽操作上：通用模拟在 P-时间世界里没有多项式时间版本（万能解释器本身要超线性时间），s-m-n 实例化（把参数写死）也会放大运行时间。因此对一般的多项式时间编号，'''带时间界的 SRT 不成立'''；不过 Kleene 1938 年的直接证明不经过通用程序，所以某些没有通用程序的子递归系统仍保有递归定理。一句话主旋律：'''自指免费，高效自指昂贵'''——不动点的"存在"有保证，"存在得节省"没有。

更微妙的是，我们能否把 SRT本身复杂性化？如果把编号限制到多项式时间的程序族上，SRT 还成立吗？困难出在证明的两个枢纽操作上：通用模拟在 P-时间世界里没有多项式时间版本（万能解释器本身要超线性时间），s-m-n 实例化（把参数写死）也会放大运行时间。因此对一般的多项式时间编号，'''带时间界的 SRT 不成立'''；不过 Kleene 1938 年的直接证明不经过通用程序，所以某些没有通用程序的子递归系统仍保有递归定理。

==== 自指的可用性依赖于编号系统：KRT 可以被分级 ====

==== 自指的可用性依赖于编号系统：KRT 可以被分级 ====