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→SIR 模型
第760行:
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−
1927年, W. O. Kermack 和 A. G. McKendrick
建立了一个固定人口中仅包含三种人群的模型,易感者:
<math>S(t)</math>
,感染者,
<math>I(t)</math>和康复者 <math>R(t)</math>
。该模型中用的划分分为三类:
+
1927年, W. O. Kermack 和 A. G. McKendrick
建立了一个仅包含三种人群的固定人口模型,即易感者:
<math>S(t)</math>
,被感染者,
<math>I(t)</math>和康复者 <math>R(t)</math>
。该模型中使用的分类可分为三种:
−
* <math>S(t)</math>
用来表示t时刻,没有被疾病感染或者容易感染某疾病的个体数
+
* <math>S(t)</math>
用来表示在t时刻尚未感染该疾病或者容易感染该疾病的个体数
−
* <math>I(t)</math>
表示已经被感染的个体数,并且他们可以把疾病传播给易感人群
+
* <math>I(t)</math>
表示已经感染该疾病并能够将该疾病传播给易感人群的个体数
−
* <math>R(t)</math>
是那部分感染过疾病但是已经康复的人。这部分个体不会再次被感染,并且也不会传染给易感染人群。
+
* <math>R(t)</math>
表示感染过疾病但是已经康复的个体数。这部分个体不会再次被感染,也不会将疾病传染给易感人群。
−
这个模型中的流可以这样表示:
+
+
该模型中的流可以这样表示:
: <math>\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{R} </math>
: <math>\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{R} </math>
+
对于数量固定的群体,有<math>N = S(t) + I(t) + R(t)</math>, 从而Kermack 和 McKendrick 得到以下方程:
对于数量固定的群体,有<math>N = S(t) + I(t) + R(t)</math>, 从而Kermack 和 McKendrick 得到以下方程:
第780行:
第782行:
</math>
</math>
−
这些方程的成立有以下的假设:首先,人群中的个体必须被认为具有与其他个体相同的感染该疾病的概率,其比率记为<math>\beta</math>
,该比率被认为是该疾病的接触或感染率。因此,单位时间内一个感染者可以接触并感染感染
<math>\beta N</math>个其他人,而一个感染者和易感者接触的比例为<math>S/N</math>。所以单位时间内单个感染者新感染的人数为 <math>\beta N (S/N)</math>
,从而得到新增感染率(易感人群减少率是
<math>\beta N (S/N)I = \beta SI</math>
(Brauer
& Castillo-Chavez,
2001)。对于第二和第三个方程,考虑到离开易感人群的数量等于进入感染者群体的数量,但是同时单位时间内会有比率为
<math>\gamma</math>的个体从感染者变为康复者/移除者(其中<math>\gamma</math>表示平均康复率,或者<math>1/\gamma</math>表示平均感染周期)。这些同时发生的过程被认为遵循[[质量作用定律]]
,这是一个被广泛接受的观点,即群体中两组人群接触的概率正比于两组的大小
(Daley & Gani, 2005)
。最后,模型假定感染和康复的速率远远快于出生和死亡的时间尺度,因此这些因素可以忽略。
+
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这些方程的成立有以下的假设:首先,人群中的个体必须被认为具有与其他个体相同的感染该疾病的概率,其比率记为<math>\beta</math>
,该比率被认为是该疾病的接触或感染率。因此,单位时间内一个感染者可以接触并感染
<math>\beta N</math>个其他人,而一个感染者和易感者接触的比例为<math>S/N</math>。所以单位时间内单个感染者新感染的人数为 <math>\beta N (S/N)</math>
,从而得到新增感染率(易感人群减少率)为
<math>\beta N (S/N)I = \beta SI</math>
(Brauer
& Castillo-Chavez,
2001)。对于第二和第三个方程,考虑易感者减少的数量等于感染者增加的数量,但是同时单位时间内会有比率为
<math>\gamma</math>的个体从感染者变为康复者/移除者(其中<math>\gamma</math>表示平均康复率,或者<math>1/\gamma</math>表示平均感染周期)。这些同时发生的过程被认为遵循[[质量作用定律]]
,这是一个被广泛接受的观点,即群体中两组人群接触的概率正比于两组人群的规模
(Daley & Gani, 2005)
。最后,模型假定感染和康复的速率远远快于出生和死亡的时间尺度,因此这些因素可以被忽略。
+
更多详细信息请查询[[流行病模型]]页面。
更多详细信息请查询[[流行病模型]]页面。
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