更改

{{#seo:

 

|keywords=分岔理论,局部分岔,全局分岔

{{short description|Area of mathematics}}

|description=Julia分岔,非线性动力系统,混沌

 

}}

{{Technical|date=June 2019}}

[[File:Saddlenode.gif|thumb|right|300px|显示鞍结分岔的相位图]]

[[File:Saddlenode.gif|thumb|right|300px|显示鞍结分岔的相位图]]

 

'''分岔理论Bifurcation theory'''是[[数学]]中研究给定[[族]]的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔'''常用于[[动力系统]]的[[数学]]研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[亨利 · 庞加莱]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。

'''分岔理论'''是[[数学]]中研究给定[[族]]的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔'''常用于[[动力系统]]的[[数学]]研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[亨利 · 庞加莱]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。

局部分岔的例子有:

局部分岔的例子有:

* [[鞍结(折叠)分岔]]

* [[鞍结(折叠)分岔Saddle-node (fold) bifurcation]]

* [[跨临界分岔]]

* [[跨临界分岔Transcritical bifurcation]]

* [[叉式分岔]]

* [[叉式分岔Pitchfork bifurcation]]

* [[周期倍增(翻转)分岔]]

* [[周期倍增(翻转)分岔Period-doubling (flip) bifurcation]]

* [[霍普夫分岔]]

* [[霍普夫分岔Hopf bifurcation]]

* [[Neimark–Sacker(次级霍普夫)分岔]]

* [[Neimark–Sacker(次级霍普夫)分岔Neimark–Sacker (secondary Hopf) bifurcation]]

*'''同宿分岔'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=262 |isbn=0-201-54344-3 |author-link=Steven Strogatz}}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。

*'''同宿分岔Homoclinic bifurcation'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=262 |isbn=0-201-54344-3 |author-link=Steven Strogatz}}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。

*'''异宿分岔'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的[[特征值]]和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。

*'''异宿分岔Heteroclinic bifurcation'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的[[特征值]]和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。

* '''无限周期分岔'''是指在极限环上同时出现稳定点和鞍点。<ref>James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", ''SIAM Journal on Applied Mathematics'', Vol. 41, No. 1 (August 1981), pp. 127&ndash;144.</ref>当参数的[[极限]]接近某个临界值时，振荡速度变慢，周期接近无穷大。无限周期分岔发生在此临界值处。 在临界值外，极限环上相继出现两个不动点，破坏振荡，形成了两个[[鞍点]]。

* '''无限周期分岔Infinite-period bifurcation'''是指在极限环上同时出现稳定点和鞍点。<ref>James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", ''SIAM Journal on Applied Mathematics'', Vol. 41, No. 1 (August 1981), pp. 127&ndash;144.</ref>当参数的[[极限]]接近某个临界值时，振荡速度变慢，周期接近无穷大。无限周期分岔发生在此临界值处。 在临界值外，极限环上相继出现两个不动点，破坏振荡，形成了两个[[鞍点]]。

* [[蓝天突变]]是指极限环与非双曲环相重合。

* [[蓝天突变Blue sky catastrophe]]是指极限环与非双曲环相重合。

* [[分岔图]]

* [[分岔图Bifurcation diagram]]

* [[分叉记忆]]

* [[分叉记忆Bifurcation memory]]

* [[突变理论]]

* [[突变理论Catastrophe theory]]

* [[费根鲍姆常数]]

* [[费根鲍姆常数Feigenbaum constants]]

* [[地磁反转]]

* [[地磁反转Geomagnetic reversal]]

* [[相位图]]

* [[相位图Phase portrait]]

* [[网球拍定理]]

* [[网球拍定理Tennis racket theorem]]

==其余链接 ==

==外部链接 ==