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|keywords=分岔理论,局部分岔,全局分岔

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|description=Julia分岔,非线性动力系统,混沌

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[[File:Saddlenode.gif|thumb|right|300px|显示鞍结分岔的相位图]]

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'''分岔理论Bifurcation theory'''是[[数学]]中研究给定[[族]]的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔'''常用于[[动力系统]]的[[数学]]研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[亨利 · 庞加莱]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。

'''分岔理论 Bifurcation theory'''是[[数学]]中研究给定[[族]]的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔 Bifurcation'''常用于[[动力系统]]的[[数学]]研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱 Henri Poincaré]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[亨利 · 庞加莱]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。

*局部分岔Local bifurcations是指可用[[平衡点]]的局部稳定性、周期轨道或其他不变集作为参数穿过临界阈值完全分析的分岔；

*局部分岔 Local bifurcations是指可用[[平衡点]]的局部稳定性、周期轨道或其他不变集作为参数穿过临界阈值完全分析的分岔；

*全局分岔Global bifurcations是指不能仅通过平衡点(或不动点)的稳定性来分析的分岔，它常在系统的较大不变集之间“碰撞”（重合）时，或较大不变集与系统的平衡点“碰撞”（重合）时出现。

*全局分岔 Global bifurcations是指不能仅通过平衡点(或不动点)的稳定性来分析的分岔，它常在系统的较大不变集之间“碰撞”（重合）时，或较大不变集与系统的平衡点“碰撞”（重合）时出现。

===局部分岔Local bifurcations===

===局部分岔 Local bifurcations===

局部分岔的例子有:

局部分岔的例子有:

* [[鞍结(折叠)分岔Saddle-node (fold) bifurcation]]

* [[鞍结(折叠)分岔 Saddle-node (fold) bifurcation]]

* [[跨临界分岔Transcritical bifurcation]]

* [[跨临界分岔 Transcritical bifurcation]]

* [[叉式分岔Pitchfork bifurcation]]

* [[叉式分岔 Pitchfork bifurcation]]

* [[周期倍增(翻转)分岔Period-doubling (flip) bifurcation]]

* [[周期倍增(翻转)分岔 Period-doubling (flip) bifurcation]]

* [[霍普夫分岔Hopf bifurcation]]

* [[霍普夫分岔 Hopf bifurcation]]

* [[Neimark–Sacker(次级霍普夫)分岔Neimark–Sacker (secondary Hopf) bifurcation]]

* [[Neimark–Sacker(次级霍普夫)分岔 Neimark–Sacker (secondary Hopf) bifurcation]]

===全局分岔Global bifurcations===

===全局分岔 Global bifurcations===

*'''同宿分岔Homoclinic bifurcation'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=262 |isbn=0-201-54344-3 |author-link=Steven Strogatz}}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。

*'''同宿分岔 Homoclinic bifurcation'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=262 |isbn=0-201-54344-3 |author-link=Steven Strogatz}}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。

*'''异宿分岔Heteroclinic bifurcation'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的[[特征值]]和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。

*'''异宿分岔 Heteroclinic bifurcation'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的[[特征值]]和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。

* '''无限周期分岔Infinite-period bifurcation'''是指在极限环上同时出现稳定点和鞍点。<ref>James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", ''SIAM Journal on Applied Mathematics'', Vol. 41, No. 1 (August 1981), pp. 127&ndash;144.</ref>当参数的[[极限]]接近某个临界值时，振荡速度变慢，周期接近无穷大。无限周期分岔发生在此临界值处。 在临界值外，极限环上相继出现两个不动点，破坏振荡，形成了两个[[鞍点]]。

* '''无限周期分岔 Infinite-period bifurcation'''是指在极限环上同时出现稳定点和鞍点。<ref>James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", ''SIAM Journal on Applied Mathematics'', Vol. 41, No. 1 (August 1981), pp. 127&ndash;144.</ref>当参数的[[极限]]接近某个临界值时，振荡速度变慢，周期接近无穷大。无限周期分岔发生在此临界值处。 在临界值外，极限环上相继出现两个不动点，破坏振荡，形成了两个[[鞍点]]。

* [[蓝天突变Blue sky catastrophe]]是指极限环与非双曲环相重合。

* [[蓝天突变 Blue sky catastrophe]]是指极限环与非双曲环相重合。

[[Bogdanov-Takens分岔]]是研究余维数为2的分岔的一个很好的例子。

[[Bogdanov-Takens 分岔]]是研究余维数为2的分岔的一个很好的例子。

* [[分岔图Bifurcation diagram]]

* [[分岔图 Bifurcation diagram]]

* [[分叉记忆Bifurcation memory]]

* [[分叉记忆 Bifurcation memory]]

* [[突变理论Catastrophe theory]]

* [[突变理论 Catastrophe theory]]

* [[费根鲍姆常数Feigenbaum constants]]

* [[费根鲍姆常数 Feigenbaum constants]]

* [[地磁反转Geomagnetic reversal]]

* [[地磁反转 Geomagnetic reversal]]

* [[相位图Phase portrait]]

* [[相位图 Phase portrait]]

* [[网球拍定理Tennis racket theorem]]

* [[网球拍定理 Tennis racket theorem]]