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[[File:Saddlenode.gif|thumb|right|300px|显示鞍结分岔的相位图]]

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'''分岔理论 Bifurcation theory'''是[[数学]]中研究给定[[族]]的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔 Bifurcation'''常用于[[动力系统]]的[[数学]]研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱 Henri Poincaré]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[亨利 · 庞加莱]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。

'''分岔理论 Bifurcation theory'''是数学中研究给定[[族]]的定性或[[拓扑结构]]的改变，例如[[向量场]]中的一族[[积分曲线]]以及[[微分方程]]的一族解。'''分岔 Bifurcation'''常用于[[动力系统]]的数学研究中，是指当系统的参数值(分岔参数)发生微小平滑的变化时，系统发生突然的“定性”或拓扑变化。<ref>{{Cite book |first=P. |last=Blanchard |first2=R. L. |last2=Devaney|author2-link= Robert L. Devaney |first3=G. R. |last3=Hall |title=Differential Equations |location=London |publisher=Thompson |year=2006 |pages=96–111 |isbn=978-0-495-01265-8 }}</ref> 分岔在连续系统(由[[常微分方程]]、[[微分方程]]或[[偏微分方程]]描述)和离散系统(由映射描述)中均存在。1885年，[[亨利 · 庞加莱 Henri Poincaré]]首次在论文中提到“分岔”一词，这也是数学中揭示该行为的第一篇论文。<ref>Henri Poincaré. "''L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation''". ''Acta Mathematica'', vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.</ref>后来[[Henri Poincaré]]也对不同的[[驻点]]进行了命名和分类。

*局部分岔 Local bifurcations是指可用[[平衡点]]的局部稳定性、周期轨道或其他不变集作为参数穿过临界阈值完全分析的分岔；

*局部分岔 Local bifurcations是指可用平衡点的局部稳定性、周期轨道或其他不变集作为参数穿过临界阈值完全分析的分岔；

如果[[雅可比]]矩阵<math> \textrm{d}f_{x_0,\lambda_0}</math>

如果[[雅可比]]矩阵<math> \textrm{d}f_{x_0,\lambda_0}</math>

具有实部为零的[[特征值]]，则在<math>(x_0,\lambda_0)</math>处发生局部分岔。若特征值为零，则分岔为稳态分岔，若特征值非零而为纯虚数，则分岔为[[霍普夫分岔]]。

具有实部为零的特征值，则在<math>(x_0,\lambda_0)</math>处发生局部分岔。若特征值为零，则分岔为稳态分岔，若特征值非零而为纯虚数，则分岔为[[霍普夫分岔 Hopf bifurcation]]。

* [[跨临界分岔 Transcritical bifurcation]]

* [[跨临界分岔 Transcritical bifurcation]]

* [[叉式分岔 Pitchfork bifurcation]]

* [[叉形分岔 Pitchfork bifurcation]]

* [[周期倍增(翻转)分岔 Period-doubling (flip) bifurcation]]

* [[周期倍增(翻转)分岔 Period-doubling (flip) bifurcation]]

*'''同宿分岔 Homoclinic bifurcation'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=262 |isbn=0-201-54344-3 |author-link=Steven Strogatz}}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。

*'''同宿分岔 Homoclinic bifurcation'''是指[[极限环]]与[[鞍点]]相重合。<ref>{{cite book |last=Strogatz |first=Steven H. |date=1994 |title=Nonlinear Dynamics and Chaos |publisher=[[Addison-Wesley]] |page=262 |isbn=0-201-54344-3 |author-link=Steven Strogatz}}</ref> 同宿分岔出现在超临界或亚临界状态下。上面的变体是“小”或者“I型”同宿分岔。 二维情况下，在同宿轨道“捕获”鞍的不稳定和稳定流形的另一端存在“大”或“II型”同宿分岔。在三维或多维情况下，可能会出现高共维分岔，产生复杂性系统，可能是[[混沌]]动力学。

*'''异宿分岔 Heteroclinic bifurcation'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的[[特征值]]和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。

*'''异宿分岔 Heteroclinic bifurcation'''是指极限环与两个或多个鞍点重合，这涉及到[[异宿环]]。<ref>{{cite book |title=Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems|last=Luo|first=Dingjun|authorlink=  |publisher=World Scientific|year=1997|isbn=981-02-2094-4|page=26}}</ref> 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔，两种类型的分岔都会导致异宿环稳定性的改变。 在共振分岔处，当环的平衡点的特征值和特征向量的代数条件满足时，环的稳定性改变。这通常伴随着[[周期轨道]]的出现和消失。当一个异宿环中某个平衡点的横向特征值的实部通过零时，就会引起该环的横向分岔，同时也会引起异宿环稳定性的变化。

* '''无限周期分岔 Infinite-period bifurcation'''是指在极限环上同时出现稳定点和鞍点。<ref>James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", ''SIAM Journal on Applied Mathematics'', Vol. 41, No. 1 (August 1981), pp. 127&ndash;144.</ref>当参数的[[极限]]接近某个临界值时，振荡速度变慢，周期接近无穷大。无限周期分岔发生在此临界值处。 在临界值外，极限环上相继出现两个不动点，破坏振荡，形成了两个[[鞍点]]。

* '''无限周期分岔 Infinite-period bifurcation'''是指在极限环上同时出现稳定点和鞍点。<ref>James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", ''SIAM Journal on Applied Mathematics'', Vol. 41, No. 1 (August 1981), pp. 127&ndash;144.</ref>当参数的极限接近某个临界值时，振荡速度变慢，周期接近无穷大。无限周期分岔发生在此临界值处。 在临界值外，极限环上相继出现两个不动点，破坏振荡，形成了两个[[鞍点]]。

* [[蓝天突变 Blue sky catastrophe]]是指极限环与非双曲环相重合。

* [[蓝天突变 Blue sky catastrophe]]是指极限环与非双曲环相重合。

* {{cite book |first=Stephen |last=Wiggins |title=Global bifurcations and Chaos: Analytical Methods |year=1988 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-96775-2 |url=https://books.google.com/books?id=s1zdBwAAQBAJ }}

* {{cite book |first=Stephen |last=Wiggins |title=Global bifurcations and Chaos: Analytical Methods |year=1988 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-96775-2 |url=https://books.google.com/books?id=s1zdBwAAQBAJ }}

==外部链接 ==

==外部链接 ==

* [http://prola.aps.org/abstract/RMP/v63/i4/p991_1 Introduction to Bifurcation theory] by John David Crawford

* [http://prola.aps.org/abstract/RMP/v63/i4/p991_1 Introduction to Bifurcation theory] by John David Crawford

《分岔理论概论》约翰·大卫·克劳福德

《分岔理论概论》约翰·大卫·克劳福德