秩-零化度定理

秩-零度定理是线性代数中的一个重要定理，它断言：

• 对于一个矩阵[math]\displaystyle{ M }[/math]，其列数等于秩与零度之和：[math]\displaystyle{ \text{dim}(\text{col }M) = \text{rank}(M) + \text{nullity}(M) }[/math]

• 对于线性变换[math]\displaystyle{ f: V \to W }[/math]，其定义域的维数等于秩与零度之和：[math]\displaystyle{ \text{dim}(V) = \text{rank}(f) + \text{nullity}(f) }[/math]

这里[math]\displaystyle{ \text{rank}(f) }[/math]是[math]\displaystyle{ f }[/math]的像的维数，而[math]\displaystyle{ \text{nullity}(f) }[/math]是[math]\displaystyle{ f }[/math]的核的维数。

由此可以推出，对于维数相等的有限维向量空间之间的线性变换（即[math]\displaystyle{ \text{dim}(V) = \text{dim}(W) }[/math]），只要该变换是单射或满射，它就一定是双射。