线性变换

在数学中，特别是在线性代数领域，线性映射（也称为线性变换、向量空间同态，在某些语境下称为线性函数）是指在两个向量空间之间的映射[math]\displaystyle{ V \to W }[/math]，这种映射保持向量加法和标量乘法运算。这些称谓和定义同样适用于更一般的环上模的情况，这就是所谓的模同态。

如果一个线性映射是双射，我们就称之为线性同构。当[math]\displaystyle{ V = W }[/math]时，线性映射被称为线性自同态。有时"线性算子"这个术语用来指代这种情况，但在不同的约定下，"线性算子"可能有不同的含义：例如，它可以用来强调[math]\displaystyle{ V }[/math]和[math]\displaystyle{ W }[/math]是实向量空间（不一定要求[math]\displaystyle{ V = W }[/math]），也可以用来强调[math]\displaystyle{ V }[/math]是函数空间，这是泛函分析中的常见约定。而"线性函数"这个术语有时与线性映射同义，但在分析学中却不尽相同。

从[math]\displaystyle{ V }[/math]到[math]\displaystyle{ W }[/math]的线性映射总是将[math]\displaystyle{ V }[/math]的零点映射到[math]\displaystyle{ W }[/math]的零点。不仅如此，它还会将[math]\displaystyle{ V }[/math]中的线性子空间映射到[math]\displaystyle{ W }[/math]中的线性子空间（可能维数会降低）。举个例子，它可能将[math]\displaystyle{ V }[/math]中经过原点的平面映射为[math]\displaystyle{ W }[/math]中的一个经过原点的平面、一条经过原点的直线，或仅仅是[math]\displaystyle{ W }[/math]中的原点。我们通常可以用矩阵来表示线性映射，其中旋转变换和反射变换就是简单的例子。

在范畴论的语言中，线性映射是向量空间的态射，它们构成了一个与矩阵范畴等价的范畴。