自同态

在数学中，自同态是指一个数学对象到其自身的态射。如果一个自同态同时也是同构，那么我们就称它为自同构。举例来说，向量空间[math]\displaystyle{ V }[/math]的自同态是一个线性映射[math]\displaystyle{ f: V \to V }[/math]，而群[math]\displaystyle{ G }[/math]的自同态则是一个群同态映射[math]\displaystyle{ f: G \to G }[/math]。实际上，我们可以在任何范畴中讨论自同态的概念。在集合范畴中，自同态就是从集合[math]\displaystyle{ S }[/math]到其自身的函数。

在任何范畴中，对象[math]\displaystyle{ X }[/math]的任意两个自同态的复合仍然是[math]\displaystyle{ X }[/math]的一个自同态。由此可知，[math]\displaystyle{ X }[/math]的所有自同态构成一个幺半群，这个幺半群被称为全变换幺半群，记作[math]\displaystyle{ \operatorname{End}(X) }[/math]（如果需要强调所在的范畴[math]\displaystyle{ \mathcal{C} }[/math]，则记作[math]\displaystyle{ \operatorname{End}_\mathcal{C}(X) }[/math]）。