讨论:因果涌现

建议

• 因果涌现不一定限定在动力系统上，对于任何因果机制都应该可能存在着因果涌现现象

• 缺少一个对CE定义的公式

张老师应该在不同的模块写上对应的参考资料，让大家来共同整理

[math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}'or {\overleftarrow{S}} }[/math]

<-'

s 符号含义

早期相关工作->计算力学，这部分，[math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}' }[/math]（表示[math]\displaystyle{ \overleftarrow{s} }[/math]的子集）[math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}' }[/math]的含义，在Computational Mechanics文献中，[math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}' }[/math]除了出现在因果态定义里，还出现在因果状态转换里，里面有“where by [math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}' }[/math] we mean the history that is the immediate successor to [math]\displaystyle{ \overleftarrow{s} }[/math]; for consistency, [math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}' = \overleftarrow{s}s }[/math].”

因此，作者的意思'可能表示S的子集（大写的s，即S）。

下图展示了一个线性动力系统的例子，其动力学是一个向量自回归的模型，实验结果如下所示，图a是使用遗传算法对不同的初始条件进行迭代进化的结果，纵轴表示动力学解耦的程度，横坐标代表迭代步数。从图中，我们可以看出：随着迭代的增加，动力学解耦程度也逐渐增加，图b表示不同的粗粒化尺度会影响优化到动力学解耦的程度，每个尺度下我们使用不同的初始化进行多次实验，结果按照升序排列，实验发现只有scale=2和6时可能达到动力学解耦，因此尺度的选择也很重要。

下面展示一个具体的马尔科夫链的例子，其中系统的微观存在3个状态，转移矩阵如下图：

其中，左侧的粗粒化矩阵A是

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

它是一个恒等变换，而右侧的粗粒化矩阵A为：

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

即将1、2两个状态分为一组，3状态单独一组。从图中，我们会发现该马尔科夫矩阵不满足公式3的可交换性条件。