BA网络模型

BA Model 的平均场理论

Barabási, Albert-László; Albert, Réka. (October 15, 1999). "Emergence of scaling in random networks". Science. 286 (5439): 509–512. arXiv:cond-mat/9910332 Freely accessible. Bibcode:1999Sci...286..509B.

R. Albert, A.-L. Barabási. Statistical mechanics of complex networks. Reviews of Modern Physics 74, 47-97 (2002)

H. Jeong - Z. Néda - A. L. Barabási (2003) Measuring preferential attachment in evolving networks. Europhys. Lett., 61 (4), p. 567

模型设定

• 初始状态有[math]\displaystyle{ m_0 }[/math]个节点
• 1. 增长原则：每次加入一个节点i （加入时间记为[math]\displaystyle{ t_i }[/math]）, 每个节点的加入带来m条边，2m个度的增加
  • 其中老节点分到的度数是m，新加入的那一个节点分到的度数为m
  • 那么到时间t的时候，网络的总节点数是[math]\displaystyle{ m_0 + t }[/math]，网络的总度数为[math]\displaystyle{ 2mt }[/math]。
• 2. 优先链接原则：每一次从m条边中占有一条边的概率正比于节点的度[math]\displaystyle{ k_i }[/math]
  • 那么显然，加入的越早（[math]\displaystyle{ t_i }[/math]越小）越容易获得更多的链接数。
  • 从时间0开始，每一个时间步系统中的节点度[math]\displaystyle{ k_i }[/math]是不断增加的。

度的增长/时间依赖性

[math]\displaystyle{ k_i }[/math]在一个时间步获得一个度的概率表示为[math]\displaystyle{ \prod (k_i) }[/math]， 那么有：

[math]\displaystyle{ \prod (k_i) = \frac{k_i}{\sum k_i} = \frac{k_i}{2mt} }[/math]

一个时间步，[math]\displaystyle{ k_i }[/math]随t的变化率可以表达为：

[math]\displaystyle{ \frac{\partial k_i}{\partial t} = \Delta k \prod (k_i) = m \frac{k_i}{2mt} = \frac{k_i}{2t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial k_i}{k_i} = \frac{\partial t}{2t} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{k_i} d k_i = \int \frac{1}{2t} dt }[/math]

积分结果为：

[math]\displaystyle{ k_i =(Ct) ^ {0.5} }[/math] 公式（1）

此时，根据模型的初始条件，每个新加入节点获得的度是m：

[math]\displaystyle{ k_i(t_i) = m }[/math] 代入公式（1）

可以得到[math]\displaystyle{ C = m^{2}/t_i }[/math] 公式（2）

代入公式（1），得到：

[math]\displaystyle{ k_i = m (\frac{t}{t_i})^{0.5} }[/math] 公式（3）

对于一个节点i，其加入网络的时间[math]\displaystyle{ t_i }[/math]是固定的，我们可以观察其度[math]\displaystyle{ k_i }[/math]随着时间的幂律关系。

H. Jeong - Z. Néda - A. L. Barabási (2003) Measuring preferential attachment in evolving networks. Europhys. Lett., 61 (4), p. 567

累积概率分布

当我们思考一个累积概率分布的时候，我们想要的是[math]\displaystyle{ k_i(t) \lt k }[/math]的概率：[math]\displaystyle{ P(k_i(t) \lt k) }[/math]

由公式（3），可以知道：

[math]\displaystyle{ P(k_i(t) \lt k) = P( m (\frac{t}{t_i})^{0.5} \lt k ) = P( t_i \gt \frac{m^2 t}{k^2} ) = 1 - P(t_i \leqslant \frac{m^2 t}{k^2} ) }[/math] 公式（4）

在初始状态[math]\displaystyle{ t = 0 }[/math], 有[math]\displaystyle{ m_0 }[/math]个节点，那么[math]\displaystyle{ t_{m_0} = 0 }[/math]

假设我们将节点加入的时间步是均匀的，那么[math]\displaystyle{ t_i }[/math]的概率是一个常数：

[math]\displaystyle{ P(t_i) = \frac{1}{m_0 + t} }[/math] 公式（5）

均匀分布的性质

• 设连续型随机变量X的概率密度函数为 f(x)=1/(b-a)，a≤x≤b, 则称随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，记为X~U[a,b]。
• 若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间，则 P{x_1≤x≤x_2}=(x_2-x_1)/(b-a).

根据均匀分布的性质，将公式（5）代入公式（4）得到：

[math]\displaystyle{ P(k_i(t) \lt k) = 1- \frac{m^2 t}{k^2} P(t_i) = 1 - \frac{m^2 t}{k^2 (m_0 + t)} }[/math] 公式（6）

对累积概率函数求微分，就可以到达概率密度函数:

[math]\displaystyle{ P( k ) = \frac{\partial P(k_i(t) \lt k)}{\partial k} = \frac{2m^2 t}{m_0 + k} \frac{1}{k^3} }[/math] 公式（7）

也就是说：[math]\displaystyle{ \gamma = 3 }[/math], 与m无关。

Implementation

def barabasi_albert_graph(n, m, seed=None):
    if m < 1 or m >= n:
        return []

    if seed is not None:
        random.seed(seed)
    
    plot_G = nx.empty_graph(n)
    
    nx.draw_circular(plot_G, with_labels=True, font_weight='bold')
    pos = nx.circular_layout(plot_G)
    ax = plt.gca()
#     yield ax

    # Add m initial nodes (m0 in barabasi-speak)
    G = nx.empty_graph(m)
    # Target nodes for new edges
    targets = list(range(m))
    # List of existing nodes, with nodes repeated once for each adjacent edge
    repeated_nodes = []
    # Start adding the other n-m nodes. The first node is m.
    source = m
    while source < n:
        G.add_edges_from(zip([source] * m, targets))

        plot_G = nx.empty_graph(m)
        plot_G.add_edges_from(zip([source] * m, targets))

        nx.draw_networkx_edges(plot_G, pos, ax=ax)
        yield ax
        
        # Add edges to m nodes from the source.

        # Add one node to the list for each new edge just created.
        repeated_nodes.extend(targets)
        # And the new node "source" has m edges to add to the list.
        repeated_nodes.extend([source] * m)
        # Now choose m unique nodes from the existing nodes
        # Pick uniformly from repeated_nodes (preferential attachement)
        targets = nx.random_graphs._random_subset(repeated_nodes, m)
        source += 1
    return G

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