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第262行： − − ==编者推荐== − ===书籍推荐=== − ====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]==== − − 本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。 − <br/> − − ====[https://www.amazon.com/dp/0199566445/ref=cm_sw_su_dp Chaos and Fractals: An Elementary Introduction]==== − 这是一本关于混沌和分形的入门书籍。读者需要有一定的线性代数基础，但是不需要有微积分或物理学的基础。 − − ====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Very-Short-Introduction-Introductions/dp/0192853783/ref=pd_lpo_14_img_1/257-2017232-0516612?_encoding=UTF8&pd_rd_i=0192853783&pd_rd_r=eebee69a-fad3-43e3-bbeb-b883f2c59bf5&pd_rd_w=g6knH&pd_rd_wg=sx6z5&pf_rd_p=7b8e3b03-1439-4489-abd4-4a138cf4eca6&pf_rd_r=YTB0XXCR2DM8049PYP1Y&psc=1&refRID=YTB0XXCR2DM8049PYP1Y 牛津通识读本: Chaos]==== − 本书隶属于牛津通识读本系列。该书由Ed Spiegel的学生Leonard Smith撰写，语言生动简明。 − <br/> − ===集智课程推荐=== − ====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]==== − 本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到'''蝴蝶效应 Butterfly effect'''、'''奇异吸引子 Attractors'''等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。 − <br/> − − ====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]==== − 本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。 − <br/>
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'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''是数学领域中的一部分．主要在描述复杂的动力系统，一般会用微分方程或差分方程来表示。当采用微分方程时，该理论被称为“连续动力系统”，若用差分方程来表示，则称为“离散动力系统”。若其时间只在一些特定区域连续，在其余区域离散，或时间是任意的时间集合（像康托尔集），需要用时标微积分来处理。有时也会需要用混合的算子来处理，像微分差分。从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广，也是运动方程的推广，不受极小作用原理[[欧拉-拉格朗日方程]]的约束。当采用差分方程时，该理论被称为[[离散动力系统]]。当时间变量运行在一个某些区间离散、其他区间连续的集合、或者像[[cantor集]]一样任意的时间集合上时，人们就能得到时间尺度上的动力方程。'''算子 Operators'''是一个函数空间到函数空间上的映射O：X→X，广义的讲，对任何函数进行某一项操作都可以认为是一个算子，如求幂次、求微分等。某些情况下，也可以用'''混合算子 Mixed Operators'''来建模，如微分-差分方程。
'''动力系统理论 Dynamical Systems Theory'''是数学领域中的一部分．主要在描述复杂的动力系统，一般会用微分方程或差分方程来表示。当采用微分方程时，该理论被称为“连续动力系统”，若用差分方程来表示，则称为“离散动力系统”。若其时间只在一些特定区域连续，在其余区域离散，或时间是任意的时间集合（像康托尔集），需要用时标微积分来处理。有时也会需要用混合的算子来处理，像微分差分。从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广，也是运动方程的推广，不受极小作用原理[[欧拉-拉格朗日方程]]的约束。当采用差分方程时，该理论被称为[[离散动力系统]]。当时间变量运行在一个某些区间离散、其他区间连续的集合、或者像[[cantor集]]一样任意的时间集合上时，人们就能得到时间尺度上的动力方程。'''算子 Operators'''是一个函数空间到函数空间上的映射O：X→X，广义的讲，对任何函数进行某一项操作都可以认为是一个算子，如求幂次、求微分等。某些情况下，也可以用'''混合算子 Mixed Operators'''来建模，如微分-差分方程。
[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|240px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动态系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]
[[File:360px-Lorenz_attractor_yb.svg.png|thumb|240px|right|[[Lorenz attractor]]是一个典型的非线性动态系统。研究这个系统有助于对[[混沌理论]]进行发展。]]
== Overview 综述 ==
==综述 ==
动力系统理论和'''混沌理论 Chaos Theory'''都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。
动力系统理论和'''混沌理论 Chaos Theory'''都是用来处理动力系统的长期定性行为的理论。一般而言，很难对动力系统方程进行精确求解，但是对这两个理论的研究重点不在于找到精确解，而是为了解答类似于如下的问题，如“系统长期来看是否会稳定下来，如果可以，那么可能的稳定状态是什么样的?”，或“系统长期的行为是否取决于其初始条件?”等。
==概念==
==概念==
===动力系统===
===动力系统===
在数学中，'''非线性系统 (Nonlinear System)'''是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。
在数学中，'''非线性系统 (Nonlinear System)'''是指系统不是线性的系统，即不满足叠加原理的系统。更通俗地说，非线性系统是待求解变量不能被写成其独立分量的线性和的系统。非齐次系统根据定义严格来说是非线性的，除了它的自变量函数以外，其他部分都是线性的。但非齐次系统通常可当做线性系统进行研究，因为只要知道特定解，它就可以转化为线性系统。
== Related fields 相关领域==
== 相关领域==
=== Arithmetic dynamics 算术动力学===
===算术动力学===
'''算术动力学 (Arithmetic Dynamics)'''是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。
'''[[算术动力学]] (Arithmetic Dynamics)'''是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。
===混沌理论===
===混沌理论===
混沌理论(Chaos theory)描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点（通常被称为'''蝴蝶效应 (Butterfly Effect)'''）。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。
'''[[混沌理论]](Chaos theory)'''描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点（通常被称为'''蝴蝶效应 (Butterfly Effect)'''）。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。
=== 复杂系统===
=== 复杂系统===
'''复杂系统 (Complex Systems)'''是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。
'''[[复杂系统]](Complex Systems)'''是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。
复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。
复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。
=== 控制理论===
=== 控制理论===
'''[[泛函分析]](Functional analysis)'''是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。
'''[[泛函分析]](Functional analysis)'''是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。
===图动力系统===
===图动力系统===
其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。
其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。
===[[符号动力学]]===
===符号动力学===
'''[[符号动力学]](Symbolic Dynamics)'''是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态（演化）由移位运算符给出。
'''[[符号动力学]](Symbolic Dynamics)'''是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态（演化）由移位运算符给出。
===[[系统动力学]]===
===系统动力学===
'''[[系统动力学]](System Dynamics)'''是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)<!-- Bot generated title -->] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080509163801/http://sysdyn.clexchange.org/ |date=2008-05-09 }}</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量(stocks)和流量(flows)的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。
'''[[系统动力学]](System Dynamics)'''是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法<ref name="sysdyn">[http://sysdyn.clexchange.org MIT System Dynamics in Education Project (SDEP)<!-- Bot generated title -->] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080509163801/http://sysdyn.clexchange.org/ |date=2008-05-09 }}</ref>。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量(stocks)和流量(flows)的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。
动力系统理论在二语习得研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，二语习得应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程<ref>{{cite web|url=https://academic.oup.com/applij/article-abstract/18/2/141/134192|title=Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition|date=1997|publisher=Applied Linguistics}}</ref>。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。
动力系统理论在二语习得研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman，她在1997年发表的一篇文章中认为，二语习得应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程<ref>{{cite web|url=https://academic.oup.com/applij/article-abstract/18/2/141/134192|title=Chaos/Complexity Science and Second Language Acquisition|date=1997|publisher=Applied Linguistics}}</ref>。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。
== See also 参见==
== 相关概念==
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==著名学者==
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* [[People in systems and control]]
* 系统和控制相关学者 People in systems and control
* [[Dmitri Anosov]]
* 德米特里·阿诺索夫Dmitri Anosov
* [[Vladimir Arnold]]
* 弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）
* [[Nikolay Bogolyubov]]
* 尼古拉（Nikolay Bogolyubov）
* [[Andrey Kolmogorov]]
* 安德烈·柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）
* [[Nikolay Mitrofanovich Krylov|Nikolay Krylov]]
* Nikolay Mitrofanovich Krylov |尼古拉·克雷洛夫（Nikolay Krylov）
* [[Jürgen Moser]]
* 于尔根·摩泽（JürgenMoser）
* [[Yakov G. Sinai]]
* 雅各布·G·西奈（Yakov G. Sinai）
* [[Stephen Smale]]
* 斯蒂芬·斯玛莱（Stephen Smale）
* [[Hillel Furstenberg]]
* 希勒尔·弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）
* [[Grigory Margulis]]
* 格里高里·马古利斯（Grigory Margulis）
* [[Elon Lindenstrauss]]
* 伊隆·林登斯特劳斯（Elon Lindenstrauss）
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==拓展阅读==
== Further reading 拓展阅读==
*{{cite book |first1=Frederick D. |last1=Abraham |first2=Ralph |last2=Abraham |authorlink2=Ralph Abraham (mathematician)|first3=Christopher D. |last3=Shaw |title=A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology |url=https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ |year=1990 |publisher=Aerial Press |isbn=978-0-942344-09-7 |oclc=24345312}}
*{{cite book |first1=Frederick D. |last1=Abraham |first2=Ralph |last2=Abraham |authorlink2=Ralph Abraham (mathematician)|first3=Christopher D. |last3=Shaw |title=A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology |url=https://books.google.com/books?id=oMbaAAAAMAAJ |year=1990 |publisher=Aerial Press |isbn=978-0-942344-09-7 |oclc=24345312}}
*[http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志
*[http://www.dynamicalsystems.org/ DSWeb] Dynamical Systems Magazine 动力系统杂志
== 参考文献 ==
{{reflist}}
==编者推荐==
===书籍推荐===
====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Making-Science-James-Gleick/dp/0749386061 Chaos: Making a New Science]====
本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。
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====[https://www.amazon.com/dp/0199566445/ref=cm_sw_su_dp Chaos and Fractals: An Elementary Introduction]====
这是一本关于混沌和分形的入门书籍。读者需要有一定的线性代数基础，但是不需要有微积分或物理学的基础。
====[https://www.amazon.co.uk/Chaos-Very-Short-Introduction-Introductions/dp/0192853783/ref=pd_lpo_14_img_1/257-2017232-0516612?_encoding=UTF8&pd_rd_i=0192853783&pd_rd_r=eebee69a-fad3-43e3-bbeb-b883f2c59bf5&pd_rd_w=g6knH&pd_rd_wg=sx6z5&pf_rd_p=7b8e3b03-1439-4489-abd4-4a138cf4eca6&pf_rd_r=YTB0XXCR2DM8049PYP1Y&psc=1&refRID=YTB0XXCR2DM8049PYP1Y 牛津通识读本: Chaos]====
本书隶属于牛津通识读本系列。该书由Ed Spiegel的学生Leonard Smith撰写，语言生动简明。
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===集智课程推荐===
====[https://campus.swarma.org/course/1655 圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos]====
本课程中，主要介绍动力学系统和混沌系统，您将学到'''蝴蝶效应 Butterfly effect'''、'''奇异吸引子 Attractors'''等基本概念，以及如何应用于您感兴趣的领域。
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====[https://campus.swarma.org/course/1641 动力系统分析]====
本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。
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{{Areas of mathematics | state=collapsed}}
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