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:<math>u(t) =  K_P e(t) + K_I \int e(\tau)\text{d}\tau + K_D \frac{\text{d}e(t)}{\text{d}t}.</math>

:<math>u(t) =  K_P e(t) + K_I \int e(\tau)\text{d}\tau + K_D \frac{\text{d}e(t)}{\text{d}t}.</math>

我们期望得到的闭环动力过程是通过调整三个参数 <math>K_P</math>、 <math>K_D</math>和 <math>K_I</math>得到的。通常我们用迭代式的“调参”法，而不需要依赖具体的模型知识。稳定性往往可以通过只使用比例项来保证。积分项允许抑制阶跃扰动（在过程控制中通常是一个冲激项）。导数项用于提供响应的阻尼或重整。PID控制器是最成熟的一类控制系统；然而，它们并不适用于一些更复杂的情形，特别是需要考虑 MIMO 系统时。

我们期望得到的闭环动力过程是通过调整三个参数 <math>K_P</math>、 <math>K_D</math>和 <math>K_I</math>得到的。通常我们用迭代式的“调参”法，而不需要依赖具体的受控对象模型知识。稳定性往往可以通过只使用比例项来保证。积分项允许抑制阶跃扰动（在过程控制中通常是一个冲激项）。导数项用于提供响应的阻尼或整型。PID控制器是最成熟的一类控制系统；然而，它们并不适用于一些更复杂的情形，特别是需要考虑 MIMO 系统时。

应用拉普拉斯变换得到变换后的 PID 控制器方程

应用拉普拉斯变换得到变换后的 PID 控制器方程

:<math>C(s) = \left(K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s\right).</math>

:<math>C(s) = \left(K_P + K_I \frac{1}{s} + K_D s\right).</math>

作为闭环系统<math>H(s)</math>中 PID 控制器调参的一个例子，考虑一个一阶系统

作为闭环系统<math>H(s)</math>中 PID 控制器调参的一个例子，考虑一个一阶受控对象

:<math>P(s) = \frac{A}{1 + sT_P}</math>

:<math>P(s) = \frac{A}{1 + sT_P}</math>

其中<math>A</math>和<math>T_P</math>是常数。系统的输出通过

其中<math>A</math>和<math>T_P</math>是常数。受控对象的输出通过

:<math>F(s) = \frac{1}{1 + sT_F}</math>

:<math>F(s) = \frac{1}{1 + sT_F}</math>

反馈给输入，其中<math>T_F</math>也是常数。现在如果我们设<math>K_P=K\left(1+\frac{T_D}{T_I}\right)</math>，<math>K_D=KT_D</math>，和<math>K_I=\frac{K}{T_I}</math>，我们就可以将 PID 控制器传递函数表示成如下形式

反馈给输入，其中<math>T_F</math>也是常数。现在如果我们设<math>K_P=K\left(1+\frac{T_D}{T_I}\right)</math>，<math>K_D=KT_D</math>，和<math>K_I=\frac{K}{T_I}</math>，我们就可以将 PID 控制器传递函数表示成如下序列形式

:<math>C(s) =  K \left(1 + \frac{1}{sT_I}\right)(1 + sT_D)</math>

:<math>C(s) =  K \left(1 + \frac{1}{sT_I}\right)(1 + sT_D)</math>