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'''控制理论 (Control Theory)'''研究机器和工程过程中连续运行的[动态系统]的控制。控制理论旨在开发一种以最优动作控制此类系统的控制模型，避免出现 ''延迟'' 或 ''超调'' ，并确保控制的稳定性。由于非常依赖相关学科的理论和实际应用，控制理论可以被视为[控制工程]、[计算机工程]、[数学]，[控制论]和[运筹学]的分支<ref>{{Cite web|url=https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&cqlMode=true&query=nid=4032317-1|title=Katalog der Deutschen Nationalbibliothek (Authority control)|last=GND|website=portal.dnb.de|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=2020-04-26}}</ref>。

'''控制理论 Control Theory '''研究机器和工程过程中连续运行的[动态系统]的控制。控制理论旨在开发一种以最优动作控制此类系统的控制模型，避免出现 ''延迟'' 或 ''超调'' ，并确保控制的稳定性。由于非常依赖相关学科的理论和实际应用，控制理论可以被视为[控制工程]、[计算机工程]、[数学]，[控制论]和[运筹学]的分支<ref>{{Cite web|url=https://portal.dnb.de/opac.htm?method=simpleSearch&cqlMode=true&query=nid=4032317-1|title=Katalog der Deutschen Nationalbibliothek (Authority control)|last=GND|website=portal.dnb.de|url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=2020-04-26}}</ref>。

为了达到控制的目的，我们需要一个在必要时具有纠正行为的 ''[控制器]'' 。一个优秀的控制器应当监视'''受控过程变量 (Process Variable, PV)'''，并将其与参考值或'''设定值 (Set Point, SP)'''进行比较。在控制过程中，过程变量的实际值和期望值之间的差被称为 ''误差'' 信号（或称 SP-PV 误差），被作为反馈来产生控制效果，使被控制的过程变量达到与设定点相同的值；此外，控制理论中也引入了[能控性]和[能观性]。控制理论是高级自动化的基础，为制造、航空、通信和其他行业带来了革命性的影响。具有反馈作用的控制器的系统被称为反馈控制系统。反馈控制通常是 ''连续'' 的，使用[传感器]测量控制变量，并通过诸如控制阀等“最终控制元件”的计算调整，使被测变量保持在一定范围内<ref>Bennett, Stuart (1992). A history of control engineering, 1930-1955. IET. p. 48.</ref>。

为了达到控制的目的，我们需要一个在必要时具有纠正行为的 ''[控制器]'' 。一个优秀的控制器应当监视'''受控过程变量 Process Variable PV '''，并将其与参考值或'''设定值 Set Point SP '''进行比较。在控制过程中，过程变量的实际值和期望值之间的差被称为 ''误差'' 信号（或称 SP-PV 误差），被作为反馈来产生控制效果，使被控制的过程变量达到与设定点相同的值；此外，控制理论中也引入了[能控性]和[能观性]。控制理论是高级自动化的基础，为制造、航空、通信和其他行业带来了革命性的影响。具有反馈作用的控制器的系统被称为反馈控制系统。反馈控制通常是 ''连续'' 的，使用[传感器]测量控制变量，并通过诸如控制阀等“最终控制元件”的计算调整，使被测变量保持在一定范围内<ref>Bennett, Stuart (1992). A history of control engineering, 1930-1955. IET. p. 48.</ref>。

[[File:传递函数框图.jpg|right|thumb|400px]]

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控制理论广泛使用['''方框图 (Block Diagram) ''']作为图解表示。其中，利用[微分方程]描述系统输入输出关系的数学模型一般被称为['''传递函数 (Transfer Function) ''']，也称'''系统函数 (System Function) '''或'''网络函数 (Network Function) '''。

控制理论广泛使用['''方框图 Block Diagram ''']作为图解表示。其中，利用[微分方程]描述系统输入输出关系的数学模型一般被称为['''传递函数 Transfer Function ''']，也称'''系统函数 System Function '''或'''网络函数 Network Function '''。

控制理论的研究可以追溯到19世纪。麦克斯韦 (James Clerk Maxwell) 最先描述了调速器运行的理论基础<ref>{{cite journal |first=J. C. |last=Maxwell |authorlink=James Clerk Maxwell |title=On Governors |date=1868 |journal=Proceedings of the Royal Society |volume=100 |issue= |pages= |url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b1/On_Governors.pdf}}</ref>。控制理论分别被[爱德华·劳斯 (Edward Routh) ]、[查理斯·斯图姆 (Charles Sturm) ]在1874年、[阿道夫·赫维兹 (Adolf Hurwitz) ]在1895年进一步发展，三人都为建立控制理论的稳定性判据做出了贡献；而[尼古拉斯·米诺尔斯基 (Nicolas Minorsky) ]在1922年发明的[[PID控制]]又将控制理论的发展向前推进了一大步<ref>{{cite journal |last=Minorsky |first=Nicolas |authorlink=Nicolas Minorsky |title=Directional stability of automatically steered bodies |journal=Journal of the American Society of Naval Engineers |year=1922 |volume=34 |pages=280–309 |issue=2 |ref=harv  |doi=10.1111/j.1559-3584.1922.tb04958.x}}</ref>。虽然控制理论主要应用在工业界设计[过程控制]系统的控制系统工程领域，但其他的应用领域远远超出了这一范畴。作为反馈系统的一般理论，控制理论在反馈出现的任何场合都是适用的。

控制理论的研究可以追溯到19世纪。麦克斯韦 James Clerk Maxwell 最先描述了调速器运行的理论基础<ref>{{cite journal |first=J. C. |last=Maxwell |authorlink=James Clerk Maxwell |title=On Governors |date=1868 |journal=Proceedings of the Royal Society |volume=100 |issue= |pages= |url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b1/On_Governors.pdf}}</ref>。控制理论分别被[爱德华·劳斯 (Edward Routh) ]、[查理斯·斯图姆 Charles Sturm ]在1874年、[阿道夫·赫维兹 Adolf Hurwitz ]在1895年进一步发展，三人都为建立控制理论的稳定性判据做出了贡献；而[尼古拉斯·米诺尔斯基 Nicolas Minorsky ]在1922年发明的[[PID控制]]又将控制理论的发展向前推进了一大步<ref>{{cite journal |last=Minorsky |first=Nicolas |authorlink=Nicolas Minorsky |title=Directional stability of automatically steered bodies |journal=Journal of the American Society of Naval Engineers |year=1922 |volume=34 |pages=280–309 |issue=2 |ref=harv  |doi=10.1111/j.1559-3584.1922.tb04958.x}}</ref>。虽然控制理论主要应用在工业界设计[过程控制]系统的控制系统工程领域，但其他的应用领域远远超出了这一范畴。作为反馈系统的一般理论，控制理论在反馈出现的任何场合都是适用的。

==历史==

==历史==

从根本上讲，控制回路有两种类型：开环控制和闭环（反馈）控制。

从根本上讲，控制回路有两种类型：开环控制和闭环（反馈）控制。

在开环控制中，来自控制器的控制动作独立于“过程输出”（或“'''受控过程变量 (Controlled Process Variable)'''”）。一个很好的例子是仅由计时器控制的中央供暖锅炉，因此无论建筑物的温度如何，都将热量恒定地施加。控制动作是定时打开/关闭锅炉，过程变量是建筑物温度，但两者都不相关。

在开环控制中，来自控制器的控制动作独立于“过程输出”（或“'''受控过程变量 Controlled Process Variable'''”）。一个很好的例子是仅由计时器控制的中央供暖锅炉，因此无论建筑物的温度如何，都将热量恒定地施加。控制动作是定时打开/关闭锅炉，过程变量是建筑物温度，但两者都不相关。

在闭环控制中，来自控制器的控制动作取决于过程变量值的反馈。在类似于锅炉的情况下，闭环回路将包括一个恒温器，以将建筑物温度与恒温器上设定的温度（设定值）进行比较。这将产生一个控制器输出，通过打开和关闭锅炉来将建筑物维持在所需温度。因此，闭环控制器具有反馈回路，可确保控制器施加合适的控制动作，将过程变量操纵为与“参考输入”或“设定点”相同。因此，闭环控制器也称为反馈控制器<ref>"Feedback and control systems" - JJ Di Steffano, AR Stubberud, IJ Williams. Schaums outline series, McGraw-Hill 1967</ref>。

在闭环控制中，来自控制器的控制动作取决于过程变量值的反馈。在类似于锅炉的情况下，闭环回路将包括一个恒温器，以将建筑物温度与恒温器上设定的温度（设定值）进行比较。这将产生一个控制器输出，通过打开和关闭锅炉来将建筑物维持在所需温度。因此，闭环控制器具有反馈回路，可确保控制器施加合适的控制动作，将过程变量操纵为与“参考输入”或“设定点”相同。因此，闭环控制器也称为反馈控制器<ref>"Feedback and control systems" - JJ Di Steffano, AR Stubberud, IJ Williams. Schaums outline series, McGraw-Hill 1967</ref>。

[[File:Simple_feedback_control_loop3.png|center|一个简单的闭环回路框图]]

[[File:Simple_feedback_control_loop3.png|center|一个简单的闭环回路框图]]

上图是一种单输入单输出 (SISO) 控制系统; 另一种常见的控制系统为多输入多输出系统 (MIMO) ，具有多个输入/输出。在这种情况下，变量通过向量表示，而不是简单的标量值。对于一些分布参数系统，向量可能是无限维的(通常为函数)。

上图是一种单输入单输出 SISO 控制系统; 另一种常见的控制系统为多输入多输出系统 MIMO ，具有多个输入/输出。在这种情况下，变量通过向量表示，而不是简单的标量值。对于一些分布参数系统，向量可能是无限维的(通常为函数)。

如果我们假设控制器 <math>C</math>、受控对象 <math>P</math> 和传感器  <math>F</math> 是[[线性时不变 (LMI) ]]的（即它们的传递函数 <math>C(s)</math>、<math>P(s)</math> 和 <math>F(s)</math> 不依赖于时间），那么上述系统可以用拉普拉斯变换来分析。这就产生了以下关系:

如果我们假设控制器 <math>C</math>、受控对象 <math>P</math> 和传感器  <math>F</math> 是[[线性时不变 LMI]]的（即它们的传递函数 <math>C(s)</math>、<math>P(s)</math> 和 <math>F(s)</math> 不依赖于时间），那么上述系统可以用拉普拉斯变换来分析。这就产生了以下关系:

: <math>Y(s) = P(s) U(s)</math>

: <math>Y(s) = P(s) U(s)</math>

根据输入和输出的数量，控制系统可以分为不同的类别。

根据输入和输出的数量，控制系统可以分为不同的类别。

*单输入单输出(SISO)——这是最简单，最常见的类型，其中一个输出由一个控制信号控制。示例是上面的巡航控制示例，或者音频系统，其中控制输入是输入音频信号，输出是来自扬声器的声波。

*单输入单输出 SISO——这是最简单，最常见的类型，其中一个输出由一个控制信号控制。示例是上面的巡航控制示例，或者音频系统，其中控制输入是输入音频信号，输出是来自扬声器的声波。

*多输入多输出(MIMO)——见于更复杂的系统。例如，现代大型望远镜（例如Keck和MMT）具有由许多独立的部分组成的反射镜，每个部分都由一个执行器控制。整个反射镜的位置由MIMO主动光学控制系统使用焦平面上多个传感器的输入不断调整，以补偿由于热膨胀、收缩，旋转应力以及大气扰动引起的波阵面扭曲。复杂系统，例如核反应堆和人体细胞可以被视为大型MIMO控制系统，由计算机进行模拟。

*多输入多输出 MIMO——见于更复杂的系统。例如，现代大型望远镜（例如Keck和MMT）具有由许多独立的部分组成的反射镜，每个部分都由一个执行器控制。整个反射镜的位置由MIMO主动光学控制系统使用焦平面上多个传感器的输入不断调整，以补偿由于热膨胀、收缩，旋转应力以及大气扰动引起的波阵面扭曲。复杂系统，例如核反应堆和人体细胞可以被视为大型MIMO控制系统，由计算机进行模拟。

==控制理论主题==

==控制理论主题==

零输入的一般动力系统的稳定性可以用李雅普诺夫稳定性标准来描述。

零输入的一般动力系统的稳定性可以用李雅普诺夫稳定性标准来描述。

*一个线性系统被称为有界输入有界输出(BIBO)稳定的，若系统对于任何有界输入的输出都是有界的。

*一个线性系统被称为有界输入有界输出 BIBO 稳定的，若系统对于任何有界输入的输出都是有界的。

*非零输入的非线性系统的稳定性由输入-状态稳定性(ISS)表示，它结合了李雅普诺夫稳定性和一个类似于BIBO稳定性的概念。

*非零输入的非线性系统的稳定性由输入-状态稳定性 ISS 表示，它结合了李雅普诺夫稳定性和一个类似于 BIBO 稳定性的概念。

为简单起见，下面的描述集中于连续和离散时间'''线性系统'''。

为简单起见，下面的描述集中于连续和离散时间'''线性系统'''。

许多活跃的历史人物对控制理论作出了重要贡献，其中包括

许多活跃的历史人物对控制理论作出了重要贡献，其中包括

*皮埃尔·西蒙·拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace) 在概率论研究中发明了Z-变换，现在用于解决离散时间控制理论问题。Z-变换是以他名字命名的拉普拉斯变换的离散时间等价表达。

*皮埃尔·西蒙·拉普拉斯 Pierre-Simon Laplace 在概率论研究中发明了Z-变换，现在用于解决离散时间控制理论问题。Z-变换是以他名字命名的拉普拉斯变换的离散时间等价表达。

*厄马加德·弗拉格·勒茨 (Irmgard Flugge-Lotz) 提出了不连续自动控制的理论，并将其应用于飞行器自动控制系统。

*厄马加德·弗拉格·勒茨 Irmgard Flugge-Lotz 提出了不连续自动控制的理论，并将其应用于飞行器自动控制系统。

*1890年代的亚历山大·李雅普诺夫 (Alexander Lyapunov) 标志着稳定性理论的诞生。

*1890年代的亚历山大·李雅普诺夫 Alexander Lyapunov标志着稳定性理论的诞生。

*哈罗德·史蒂芬·布莱克 (Harold S. Black) 在1927年发明了负反馈放大器的概念。他在1930年代成功开发了稳定的负反馈放大器。

*哈罗德·史蒂芬·布莱克 Harold S. Black 在1927年发明了负反馈放大器的概念。他在1930年代成功开发了稳定的负反馈放大器。

*哈里·奈奎斯特 (Harry Nyquist) 在1930年代为反馈系统开发了奈奎斯特稳定性判据。

*哈里·奈奎斯特 Harry Nyquist 在1930年代为反馈系统开发了奈奎斯特稳定性判据。

*理查德·贝尔曼 (Richard Bellman) 从1940年代开始开发动态编程<ref>{{cite magazine |author=Richard Bellman |date=1964 |title=Control Theory |url=http://www.nature.com/scientificamerican/journal/v211/n3/pdf/scientificamerican0964-186.pdf |magazine=[[Scientific American]] |volume=211 |issue=3 |pages=186–200|author-link=Richard Bellman }}</ref>。

*理查德·贝尔曼 Richard Bellman 从1940年代开始开发动态编程<ref>{{cite magazine |author=Richard Bellman |date=1964 |title=Control Theory |url=http://www.nature.com/scientificamerican/journal/v211/n3/pdf/scientificamerican0964-186.pdf |magazine=[[Scientific American]] |volume=211 |issue=3 |pages=186–200|author-link=Richard Bellman }}</ref>。

*安德雷·柯尔莫哥洛夫(Andrey Kolmogorov) 于1941年共同开发了维纳-柯尔莫哥洛夫滤波器。

*安德雷·柯尔莫哥洛夫Andrey Kolmogorov 于1941年共同开发了维纳-柯尔莫哥洛夫滤波器。

*诺伯特·维纳 (Norbert Wiener) 共同开发了维纳-柯尔莫哥洛夫滤波器，并在1940年代创造了控制论一词。

*诺伯特·维纳 Norbert Wiener 共同开发了维纳-柯尔莫哥洛夫滤波器，并在1940年代创造了控制论一词。

*约翰·拉加齐尼 (John R. Ragazzini) 在1950年代在控制理论中引进了数字控制和Z-变换（由Laplace发明）。

*约翰·拉加齐尼 John R. Ragazzini 在1950年代在控制理论中引进了数字控制和Z-变换（由Laplace发明）。

*列夫·庞特里亚金 (Lev Pontryagin) 引进了最大原理和bang-bang原理。

*列夫·庞特里亚金 Lev Pontryagin 引进了最大原理和bang-bang原理。

*皮埃尔-路易·利翁 (Pierre-Louis Lions) 将粘性解发展为随机控制和最优控制方法。

*皮埃尔-路易·利翁 Pierre-Louis Lions 将粘性解发展为随机控制和最优控制方法。

*鲁道夫·卡尔曼 (Rudolf Kalman) 率先在系统和控制领域采用状态空间方法。他引进了可控性和可观察性的概念，开发了用于线性估计的卡尔曼滤波器。

*鲁道夫·卡尔曼 Rudolf Kalman 率先在系统和控制领域采用状态空间方法。他引进了可控性和可观察性的概念，开发了用于线性估计的卡尔曼滤波器。

*阿里·奈飞 (Ali H. Nayfeh) 是非线性控制理论的主要贡献者之一，并出版了许多有关微扰方法的书。

*阿里·奈飞 Ali H. Nayfeh 是非线性控制理论的主要贡献者之一，并出版了许多有关微扰方法的书。

*简·卡米尔·威廉姆斯 (Jan C. Willems) 引入了耗散性概念，将李雅普诺夫方程推广到输入/状态/输出系统。构造类似李雅普诺夫函数的存储函数引发了控制理论中线性矩阵不等式（LMI）的研究。他开创了数学系统理论的行为方法。

*简·卡米尔·威廉姆斯 Jan C. Willems 引入了耗散性概念，将李雅普诺夫方程推广到输入/状态/输出系统。构造类似李雅普诺夫函数的存储函数引发了控制理论中线性矩阵不等式（LMI）的研究。他开创了数学系统理论的行为方法。

==另请参阅==

==另请参阅==