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== Definitions 定义 ==
== Definitions 定义 ==
=== Definition of heavy-tailed distribution 重尾分布的定义 ===
=== Definition of heavy-tailed distribution 重尾分布的定义 ===
The distribution of a [[random variable]] ''X'' with [[cumulative distribution function|distribution function]] ''F'' is said to have a heavy (right) tail if the [[moment generating function]] of ''X'', ''M<sub>X</sub>''(''t''), is infinite for all ''t'' > 0.<ref name="ReferenceA">Rolski, Schmidli, Scmidt, Teugels, ''Stochastic Processes for Insurance and Finance'', 1999</ref>
The distribution of a [[random variable]] ''X'' with [[cumulative distribution function|distribution function]] ''F'' is said to have a heavy (right) tail if the [[moment generating function]] of ''X'', ''M<sub>X</sub>''(''t''), is infinite for all ''t'' > 0.<ref name="ReferenceA">Rolski, Schmidli, Scmidt, Teugels, ''Stochastic Processes for Insurance and Finance'', 1999</ref>
所有长尾分布都是重尾分布，但反之不一定，事实是可以构造出非长尾分布的重尾分布。
所有长尾分布都是重尾分布，但反之不一定，事实是可以构造出非长尾分布的重尾分布。
=== Subexponential distributions 次指数分布 ===
=== Subexponential distributions 次指数分布 ===
所有次指数分布都是长尾分布，但可以构造非次指数分布的长尾分布示例。
所有次指数分布都是长尾分布，但可以构造非次指数分布的长尾分布示例。
== Common heavy-tailed distributions 常见的重尾分布 ==
== Common heavy-tailed distributions 常见的重尾分布 ==
其中<math>X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots ,X_{n}\right)</math>。 此估计量的概率收敛到<math>\xi</math>。
其中<math>X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots ,X_{n}\right)</math>。 此估计量的概率收敛到<math>\xi</math>。
其中<math>X_{(i,n)}</math>是<math>X_1, \dots, X_n</math>的i阶统计量。该估计量收敛于<math>\xi</math>的概率，并且当<math>k(n) \to \infty </math>基于较高阶的正则变化性质受到限制时，它是渐近正态的。一致性和渐近正态性适用于一大类相关序列和异类序列，它与是否观测到<math>X_t</math>无关，也无关于是否从大量模型和估计量（包括错误指定的模型和具有相关误差的模型）中计算出的残差或滤波数据。
其中<math>X_{(i,n)}</math>是<math>X_1, \dots, X_n</math>的i阶统计量。该估计量收敛于<math>\xi</math>的概率，并且当<math>k(n) \to \infty </math>基于较高阶的正则变化性质受到限制时，它是渐近正态的。一致性和渐近正态性适用于一大类相关序列和异类序列，它与是否观测到<math>X_t</math>无关，也无关于是否从大量模型和估计量（包括错误指定的模型和具有相关误差的模型）中计算出的残差或滤波数据。
=== Ratio estimator of the tail-index 尾部指数的比率估计器 ===
=== Ratio estimator of the tail-index 尾部指数的比率估计器 ===
A comparison of Hill-type and RE-type estimators can be found in Novak.<ref name="Novak2011"/>
A comparison of Hill-type and RE-type estimators can be found in Novak.<ref name="Novak2011"/>
=== Software 应用软件===
=== Software 应用软件===
* [http://www.cs.bu.edu/~crovella/aest.html aest], [[C (programming language)|C]] tool for estimating the heavy-tail index.<ref>{{Cite journal | last1 = Crovella | first1 = M. E. | last2 = Taqqu | first2 = M. S. | title = Estimating the Heavy Tail Index from Scaling Properties| journal = Methodology and Computing in Applied Probability | volume = 1 | pages = 55–79 | year = 1999 | doi = 10.1023/A:1010012224103 | url = http://www.cs.bu.edu/~crovella/paper-archive/aest.ps| pmid = | pmc = }}</ref>
* [http://www.cs.bu.edu/~crovella/aest.html aest], [[C (programming language)|C]] tool for estimating the heavy-tail index.<ref>{{Cite journal | last1 = Crovella | first1 = M. E. | last2 = Taqqu | first2 = M. S. | title = Estimating the Heavy Tail Index from Scaling Properties| journal = Methodology and Computing in Applied Probability | volume = 1 | pages = 55–79 | year = 1999 | doi = 10.1023/A:1010012224103 | url = http://www.cs.bu.edu/~crovella/paper-archive/aest.ps| pmid = | pmc = }}</ref>
== Estimation of heavy-tailed density 重尾密度的估计 ==
== Estimation of heavy-tailed density 重尾密度的估计 ==
Markovich中给出了估计重尾和超重尾概率密度函数的非参数方法。这些是基于可变带宽和长尾核估计器的方法。将初步数据以有限或无限间隔变换为新的随机变量，这样更便于估计，然后对获得的密度估计进行逆变换；以及“拼合方法”，它为密度的尾部提供了一定的参数模型，并为近似密度的模式提供了非参数模型。非参数估计器需要适当选择调整（平滑）参数，例如内核估计器的带宽和直方图的bin宽度。这种选择大众化数据驱动方法是基于均方误差（MSE）及其渐近及其上限的最小化的交叉验证及修改方法。通过使用著名的非参数统计数据（例如Kolmogorov-Smirnov's，von Mises和Anderson-Darling的统计数据）作为分布函数（dfs）空间中的度量，并将后来的统计数据的分位数作为已知的不确定性或差异值，来寻找差异。Bootstrap是另一种工具，可以通过不同的重采样选择方案使用未知MSE的近似值来查找平滑参数。
Markovich中给出了估计重尾和超重尾概率密度函数的非参数方法。这些是基于可变带宽和长尾核估计器的方法。将初步数据以有限或无限间隔变换为新的随机变量，这样更便于估计，然后对获得的密度估计进行逆变换；以及“拼合方法”，它为密度的尾部提供了一定的参数模型，并为近似密度的模式提供了非参数模型。非参数估计器需要适当选择调整（平滑）参数，例如内核估计器的带宽和直方图的bin宽度。这种选择大众化数据驱动方法是基于均方误差（MSE）及其渐近及其上限的最小化的交叉验证及修改方法。通过使用著名的非参数统计数据（例如Kolmogorov-Smirnov's，von Mises和Anderson-Darling的统计数据）作为分布函数（dfs）空间中的度量，并将后来的统计数据的分位数作为已知的不确定性或差异值，来寻找差异。Bootstrap是另一种工具，可以通过不同的重采样选择方案使用未知MSE的近似值来查找平滑参数。
== See also 其他参考资料 ==
== See also 其他参考资料 ==
*[[Fat-tailed distribution]]
*[[Fat-tailed distribution]]
**[[Taleb distribution]] and [[Holy grail distribution]]
**[[Taleb distribution]] and [[Holy grail distribution]]