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== SIR模型 ==
== SIR模型 ==
在均匀混合的人群中，SIR模型的传播演化过程可以用如下的平均场理论表示：
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{ds(t)}{dt}=-\beta s(t)i(t),\\
&\frac{di(t)}{dt}=\beta s(t)i(t)-\gamma i(t),\\
&\frac{dr(t)}{dt}=\gamma i(t).
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
这是没有考虑网络结构的简化的理论。其实，这些模型还可以通过考虑网络的结构来进行更为精确地理论分析。这里我们以平均度为$\left<k\right>$的网络$G=(V,E)$来介绍考虑了网络结构后的相关理论。其中，S状态个体被I状态个体感染的速率为$\beta$，I状态个体的恢复速率为$\gamma$。
=== 同质平均场理论 ===
以$s(t)$，$i(t)$和$r(t)$表示为易感，感染和恢复个体的比例，因此，我们有$s(t)+i(t)+r(t)=1$。同质平均场理论假设每个个体平均与$\left<k\right>$个邻居相连[218]。 因此$s(t)$，$i(t)$和$r(t)$的演化过程可以表示为
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{ds(t)}{dt}=-\left<k\right>\beta s(t)i(t),\\
&\frac{di(t)}{dt}=\left<k\right>\beta s(t)i(t)-\gamma i(t),\\
&\frac{dr(t)}{dt}=\gamma i(t).
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
在同质平均场理论下计算得到的阈值为$R_0=\left<k\right>\beta/\gamma$（$R_0$为基本生殖数）[219]。
=== 异质平均场理论 ===
同质平均场理论适用于网络的度分布比较均匀的情况，当网络中中每个节点的度值相差悬殊，即为异质网络时，这个理论就不再适用。异质平均场理论的提出就是为了解决同质平均场理论的这项缺点[220,221]。其中，根据节点度可以将个体划分为不同的类别，即$s_k(t)$，$i_k(t)$和$r_k(t)$，分别代表度为$k$的易感，感染和恢复态个体的比例。因此，异质平均场理论可以由如下演化方程表示
\begin{equation} \label{eq:sir_HMF}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{ds_k(t)}{dt}=-k\beta s_k(t)\theta_k(t),\\
&\frac{di_k(t)}{dt}=k\beta s_k(t)\theta_k(t)-\gamma i_k(t),\\
&\frac{dr_k(t)}{dt}=\gamma i_k(t).
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
其中$\theta_k(t)$指的是S态节点随机选择的一条边指向感染个体的概率。无关联网络的$\theta_k(t)$的具体形式为[222]，
\begin{equation}
\theta_k(t)=\sum_{k'}(k'-1)p(k')i_{k'}(t)/\left<k\right>
\end{equation}
若为有关联网络，则为[222]
\begin{equation}
\theta_k(t)=\sum_{k'}i_{k'}(t)((k'-1)/k')p(k'|k)
\end{equation}
通过异质平均场理论的计算可以得到无关联网络（uncorrelated network）的传播阈值为$\lambda^{ucr}=\frac{\left<k\right>}{\left<k^2\right>-\left<k\right>}$，其中$\left<k^2\right>$为节点度分布的二阶矩。当网络中不同节之间为度度关联（correlated network）时，阈值为$\lambda^{cr}=\frac{1}{\overline{\Lambda}_m}$，其中$\overline{\Lambda}_m$为连通性矩阵$\overline{C}_{kk'}=\beta(k(k'-1)/k')p(k'/k)$的最大特征值。
=== 基于点对的平均场理论 ===
此理论考虑了疾病传播过程中，节点之间的状态的动力学相关性[223-225]，其中$[X]$代表不同状态类型的个体的期望数量。例如$[S]$表示易感个体数量的期望值，$[SI]$表示连接了易感个体与感染个体的连边的数量期望值，$[SIS]$表示形式为S-I-S的三元组。变量可以通过以下微分方程来描述：
\begin{equation} \label{eq:sir_pair}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{d[S]}{dt}=-\beta[SI],\\
&\frac{d[I]}{dt}=\beta[SI]-\gamma[I],\\
&\frac{d[R]}{dt}=\gamma[I],\\
&\frac{d[SS]}{dt}=-2\beta[SSI],\\
&\frac{d[SR]}{dt}=-\beta[RSI]+\gamma[SI],\\
&\frac{d[IR]}{dt}=\beta[RSI]+\gamma([II]-[IR]),\\
&\frac{d[II]}{dt}=2\beta([ISI]+[SI])-2\gamma[II],\\
&\frac{d[SI]}{dt}=\beta([SSI]-[ISI]-[SI])-\gamma[SI].
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
通过假设邻居的不同分布（例如，泊松分布，二项式分布或多项式分布[223,224]），可以在点对级别闭合方程组(\ref{eq:sir_pair})。 由于在该方程组中考虑了三元组，因此不同的点对近似方法可能涉及网络的集群效应。另一方面，方程组(\ref{eq:sir_pair})是基于同质网络下的结果，是可以推广到异质网络情况的。 类似异质平均场理论，异质点对近似平均场理论也会考虑到网络中节点度的异质性，根据节点度将个体划分为不同的类别[225]。另外，基于不同的闭合方法，即点对近似，可以分别推导出对应方法下的传播阈值形式。
=== 基于个体的平均场理论 ===
同质和异质平均场理论在某种程度上考虑了网络结构，但是这些理论方法无法表征网络中更具体地一些细节差异，例如无法区分具有相同节点度的个体的差异，并且忽略了个体的中心性。因此，考虑了个体特征的连续时间马尔可夫链SIR理论被提出[226]。
在连续时间马尔可夫链SIR理论中，假设人群共有$N$个个体，每个个体都可以处于三种状态之一（即S，I，R），因此存在$3^N$种可能的网络状态。用$X=\{x_1,x_2,...,x_N\}$表示网络状态，其中$x\in\{S,I,R\}$。$W_X=p(X=\{x_1,x_2,...,x_N\})$是网络处于状态$X$的概率。状态转移矩阵由$Q=(q_{X,Y})_{3^N×3^N}$给出，其中$q_{X,Y}$表示从网络状态X到Y的转移速率。在任何时间$t$处，$W_X(t)$表示网络处于状态$X(\sum_{X\in\{X_1,...,X_{3^N}\}}W_X(t)=1)$的概率，可以得出该概率随时间的变化如下
\begin{equation}
\frac{dW^T(t)}{dt}=W^T(t)Q
\end{equation}
其中$W^T(t)$是$W(t)$的转置。给定初始值$W^T(0)$，则上式方程的解可以表示为
\begin{equation}
W^T(t)=W^T(0)e^{Qt}
\end{equation}
根据上式可以得出连续时间马尔可夫链SIR理论的求解复杂度是指数的$O(3^N)$。因此，给出了一种基于个体的理论方法来降低复杂度到$O(N)$，矩阵$Q_{3^N×3^N}$被分解为$N$个无穷小矩阵，其中每个矩阵都处于三个状态之内[226,227]。通过使用有效平均感染率（effective average infection rate）代替随机感染率（random infection rate），每个个体$v$的状态变化可以表示为
\begin{equation} \label{eq:sir_i}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{dS_v}{dt}=-S_v(t)\beta\sum_{z\in{V}}a_{v,z}I_z(t),\\
&\frac{dI_v}{dt}=S_v(t)\beta\sum_{z\in{V}}a_{v,z}I_z(t)-\gamma I_v(t),\\
&\frac{dR_v}{dt}=\gamma I_v(t).\\
\end{aligned} \right.
\end{equation}
其中$A=(a_{v,z})_{N×N}$是网络的邻接矩阵。此模型的传播阈值为$R_0=1/\lambda_{max,A}$，其中$\lambda_{max,A}$是矩阵$A$的最大本征值。
== SIS模型 ==
这里，我们同样以平均度为$\left<k\right>$的网络$G=(V,E)$来简要介绍考虑了网络结构后的其中一些理论。其中，S状态个体被I状态个体感染的速率为$\beta$，I状态个体恢复为S态的速率为$\gamma$。
=== 同质平均场理论 ===
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{ds(t)}{dt}=-\left<k\right>\beta s(t)i(t)+\gamma i(t),\\
&\frac{di(t)}{dt}=\left<k\right>\beta s(t)i(t)-\gamma i(t).\\
\end{aligned} \right.
\end{equation}
=== 异质平均场理论 ===
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{ds_k(t)}{dt}=-k\beta s_k(t)\theta_k(t)+\gamma i_k(t),\\
&\frac{di_k(t)}{dt}=k\beta s_k(t)\theta_k(t)-\gamma i_k(t).\\
\end{aligned} \right.
\end{equation}
其中$\theta_k(t)=\sum_{k'}k'p(k')i_{k'}(t)/\left<k\right>$。可以计算得到传播阈值为
\begin{equation}
\lambda_c=\frac{\left<k\right>}{\left<k^2\right>}
\end{equation}
其中$\left<k\right>$和$\left<k^2\right>$分别表示节点度分布的一阶矩和二阶矩。在均匀网络（如ER网）上，阈值可以计算得到为$\lambda_c=1/(\left<k\right>+1)$。
=== 基于个体的平均场理论 ===
\begin{equation} \label{eq:sis_i}
\left\{
\begin{aligned}
&\frac{dS_v}{dt}=-S_v(t)\beta\sum_{z\in{V}}a_{v,z}I_z(t)+\gamma I_v(t),\\
&\frac{dI_v}{dt}=S_v(t)\beta\sum_{z\in{V}}a_{v,z}I_z(t)-\gamma I_v(t).\\
\end{aligned} \right.
\end{equation}
可以得到，传播阈值为邻接矩阵的最大特征值的倒数。