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添加40字节 、 2021年3月26日 (五) 14:04
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在使用<font color="#ff8000">“重尾” Heavy-tailed</font>一词时仍存在一些歧义。于是就出现了另外两种定义。
 
在使用<font color="#ff8000">“重尾” Heavy-tailed</font>一词时仍存在一些歧义。于是就出现了另外两种定义。
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有一些作者使用该术语来指代并非所有幂矩都是有限的那些分布,也有一些作者使用这个术语来指代那些没有有限方差的分布。
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有一些作者使用该术语来指代并非所有阶矩都是有限的那些分布,也有一些作者使用这个术语来指代那些没有有限方差的分布。
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在这里,给出的是最常用的定义,包括替代定义所涵盖的所有分布,以及具有所有幂矩但通常被认为是重尾分布的<font color="#ff8000">对数正态分布 long-normal distributions </font>。(有时“重尾”用于任何具有比正态分布更重的尾巴的分布。)
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在这里,给出的是最常用的定义,包括现有定义所涵盖的所有分布,以及具有所有幂矩但通常被认为是重尾分布的<font color="#ff8000">对数正态分布 long-normal distributions </font>。(有时“重尾”用于任何具有比正态分布更重的尾巴的分布。)
      第27行: 第27行:       −
如果''<math>X</math>''的矩生成函数,  ''M<sub>X</sub>''(''<math>t</math>'')对于所有''<math>t</math>''&nbsp;>&nbsp;0都是无限的,则具有分布函数''<math>F</math>''的随机变量''<math>X</math>''的分布被称为重尾(右)。<ref name="ReferenceA">Rolski, Schmidli, Scmidt, Teugels, ''Stochastic Processes for Insurance and Finance'', 1999</ref>
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如果''<math>X</math>''的矩母函数,  ''M<sub>X</sub>''(''<math>t</math>'')对于所有''<math>t</math>''&nbsp;>&nbsp;0都是无限的,则具有分布函数''<math>F</math>''的随机变量''<math>X</math>''的分布被称为重尾(右)。<ref name="ReferenceA">Rolski, Schmidli, Scmidt, Teugels, ''Stochastic Processes for Insurance and Finance'', 1999</ref>
      第65行: 第65行:       −
如果对于所有<math>''t''>0</math>,则称具有分布函数<math>''F''</math>的随机变量<math>''X''</math>的分布为有较长的右尾,
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如果对于所有<math>t>0</math>,则称具有分布函数<math>F</math>的随机变量<math>X</math>的分布为有较长的右尾,
    
:<math>
 
:<math>
第83行: 第83行:       −
对于右尾长尾分布量具有直观的解释,即如果长尾量超过某个高水平,则概率将接近1,它将超过其他更高的水平。
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对于右尾长尾分布的随机变量有一个直观的解释,即在长尾分布随机变量尾部取值已超过某个高水平的条件下,它将超过其他更高水平的概率接近于1。
      第91行: 第91行:       −
次指数性是根据概率分布的<font color="#ff8000">卷积 Convolution </font>定义的。对于具有共同分布函数<math>F</math>的两个独立且分布均匀的随机变量<math> X_1,X_2</math>,<math>F</math>与自身的卷积,<math>F^{*2}</math>是卷积的平方,使用Lebesgue–Stieltjes积分,方法如下:
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次指数性是根据概率分布的<font color="#ff8000">卷积 Convolution </font>定义的。对于具有共同分布函数<math>F</math>的两个独立同分布的随机变量<math> X_1,X_2</math>,<math>F</math>与自身的卷积,<math>F^{*2}</math>是卷积的平方,使用Lebesgue–Stieltjes积分,方法如下:
      第99行: 第99行:       −
''n''倍卷积<math>F^{*n}</math>定义如下:
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''n''重卷积<math>F^{*n}</math>定义如下:
      第111行: 第111行:       −
如果满足以下条件,则正半线上的分布<math>F</math>为次指数<ref name="Asmussen"/><ref>{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/publication/242637603_A_Theorem_on_Sums_of_Independent_Positive_Random_Variables_and_Its_Applications_to_Branching_Random_Processes|title=A Theorem on Sums of Independent Positive Random Variables and Its Applications to Branching Random Processes|last=Chistyakov|first=V. P.|date=1964|website=ResearchGate|language=en|archive-url=|archive-date=|access-date=April 7, 2019}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176996225|title=The Class of Subexponential Distributions|last=Teugels|first=Jozef L.|authorlink=|date=1975|website=|publisher=Annals of Probability|publication-place=[[KU Leuven|University of Louvain]]|archive-url=|archive-date=|access-date=April 7, 2019}}</ref>
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如果满足以下条件,分布<math>F</math>在正半轴上是为次指数的<ref name="Asmussen"/><ref>{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/publication/242637603_A_Theorem_on_Sums_of_Independent_Positive_Random_Variables_and_Its_Applications_to_Branching_Random_Processes|title=A Theorem on Sums of Independent Positive Random Variables and Its Applications to Branching Random Processes|last=Chistyakov|first=V. P.|date=1964|website=ResearchGate|language=en|archive-url=|archive-date=|access-date=April 7, 2019}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1176996225|title=The Class of Subexponential Distributions|last=Teugels|first=Jozef L.|authorlink=|date=1975|website=|publisher=Annals of Probability|publication-place=[[KU Leuven|University of Louvain]]|archive-url=|archive-date=|access-date=April 7, 2019}}</ref>
      第138行: 第138行:       −
如果分布<math>F I([0,\infty))</math>为实数,则<math>F</math>为整个实数上的次指数分布。<ref>{{cite journal | last = Willekens | first =  E. | title = Subexponentiality on the real line | journal = Technical Report | publisher = K.U. Leuven | year = 1986}}</ref>此时<math>I([0,\infty))</math>是正半轴的指标函数。或者,当且仅当<math>X^+ = \max(0,X)</math>是次指数时,实数上支持的随机变量<math>X</math>才是次指数。
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如果分布<math>F I([0,\infty))</math>为实数,则<math>F</math>为整个实数上的次指数分布。<ref>{{cite journal | last = Willekens | first =  E. | title = Subexponentiality on the real line | journal = Technical Report | publisher = K.U. Leuven | year = 1986}}</ref>此时<math>I([0,\infty))</math>是正半轴的示性函数。或者,当且仅当<math>X^+ = \max(0,X)</math>是次指数时,支撑集为实数轴的随机变量<math>X</math>是次指数的。
      第160行: 第160行:  
双尾的包括:
 
双尾的包括:
 
* <font color="#ff8000">柯西分布 Cauchy distribution</font>本身就是稳定分布和t分布的特例;
 
* <font color="#ff8000">柯西分布 Cauchy distribution</font>本身就是稳定分布和t分布的特例;
* <font color="#ff8000">稳定分布族 The family of stable distributions</font><ref>{{cite web |author=John P. Nolan | title=Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data| year=2009 | url=http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf | accessdate=2009-02-21}}</ref>,但该族中正态分布的特殊情况除外。一些稳定的分布是单面的(或有半线的支持),例如莱维分布。另请参见具有长尾分布和波动性聚类的财务模型。
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* <font color="#ff8000">稳定分布族 The family of stable distributions</font><ref>{{cite web |author=John P. Nolan | title=Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data| year=2009 | url=http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf | accessdate=2009-02-21}}</ref>,但该族中正态分布的特殊情况除外。一些稳定的分布是单面的(或以是半轴为支持),例如莱维分布。另请参见具有长尾分布和波动性聚类的财务模型。
 
* t分布
 
* t分布
 
*<font color="#ff8000">偏对数正态级联分布 The skew lognormal cascade distribution</font>。<ref>{{cite web | author=Stephen Lihn | title=Skew Lognormal Cascade Distribution | year=2009 | url=http://www.skew-lognormal-cascade-distribution.org/ | access-date=2009-06-12 | archive-url=https://web.archive.org/web/20140407075213/http://www.skew-lognormal-cascade-distribution.org/ | archive-date=2014-04-07 | url-status=dead }}</ref>
 
*<font color="#ff8000">偏对数正态级联分布 The skew lognormal cascade distribution</font>。<ref>{{cite web | author=Stephen Lihn | title=Skew Lognormal Cascade Distribution | year=2009 | url=http://www.skew-lognormal-cascade-distribution.org/ | access-date=2009-06-12 | archive-url=https://web.archive.org/web/20140407075213/http://www.skew-lognormal-cascade-distribution.org/ | archive-date=2014-04-07 | url-status=dead }}</ref>
第166行: 第166行:  
==与胖尾分布的关系 ==
 
==与胖尾分布的关系 ==
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胖尾分布是指对于较大的<math>x</math>,概率密度函数为<math>x^{-a}</math>趋于零。由于这样的幂总是受到指数分布概率密度函数的限制,因此,胖尾分布始终是重尾分布。
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胖尾分布是指对于较大的<math>x</math>,以幂律的速度<math>x^{-a}</math>趋向于0。由于这样的幂总是受到指数分布概率密度函数的限制,因此,胖尾分布始终是重尾分布。
    
但是,某些分布的尾部趋近于零的速率比指数函数慢(表示它们是重尾),而比幂快(表示它们不是胖尾)。例如对数正态分布<ref>Stephen Lihn (2009). "Skew Lognormal Cascade Distribution". Archived from the original on 2014-04-07. Retrieved 2009-06-12.</ref>。当然,许多其他的重尾分布,例如对数逻辑分布和帕累托分布也属于胖尾分布。
 
但是,某些分布的尾部趋近于零的速率比指数函数慢(表示它们是重尾),而比幂快(表示它们不是胖尾)。例如对数正态分布<ref>Stephen Lihn (2009). "Skew Lognormal Cascade Distribution". Archived from the original on 2014-04-07. Retrieved 2009-06-12.</ref>。当然,许多其他的重尾分布,例如对数逻辑分布和帕累托分布也属于胖尾分布。
第199行: 第199行:       −
其中<math>X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots  ,X_{n}\right)</math>。 此估计量的概率收敛到<math>\xi</math>。
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其中<math>X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots  ,X_{n}\right)</math>。 此估计量的概率依概率收敛到<math>\xi</math>。
      第206行: 第206行:       −
令<math>(X_t , t \geq 1)</math>为具有分布函数<math>F \in D(H(\xi))</math>独立且均匀分布的随机变量序列,其分布函数为广义极值分布<math> H </math>的最大吸引域,其中<math>\xi \in \mathbb{R}</math>。样本路径为<math>{X_t: 1 \leq t \leq n}</math>,其中<math>n</math>为样本大小。 如果<math>\{k(n)\}</math>是中间阶数序列,即<math>k(n) \in \{1,\ldots,n-1\}, </math>,<math>k(n) \to \infty</math>和<math>k(n)/n \to 0</math>,则Hill尾指数估计器为<ref>Hill B.M. (1975) A simple general approach to inference about  the tail of a distribution. Ann. Stat., v. 3, 1163–1174.</ref>:
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令<math>(X_t , t \geq 1)</math>为具有分布函数<math>F \in D(H(\xi))</math>独立同分布的随机变量序列,其分布函数为广义极值分布<math> H </math>的最大吸引域,其中<math>\xi \in \mathbb{R}</math>。样本路径为<math>{X_t: 1 \leq t \leq n}</math>,其中<math>n</math>为样本大小。 如果<math>\{k(n)\}</math>是中间阶数序列,即<math>k(n) \in \{1,\ldots,n-1\}, </math>,<math>k(n) \to \infty</math>和<math>k(n)/n \to 0</math>,则Hill尾指数估计器为<ref>Hill B.M. (1975) A simple general approach to inference about  the tail of a distribution. Ann. Stat., v. 3, 1163–1174.</ref>:
     

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