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第5行： − {{Technical|date=September 2018}} − {{redirect|Catastrophic event||Catastrophe (disambiguation){{!}}Catastrophe}} − 在数学上，突变论是[[动力学系统]]研究里[[分岔理论]]的一个分支；而在几何学中，它也是[[奇点理论]]里的一个特殊情形。+ 第19行：
第17行： − 突变论分析势函数的退化临界点（在退化临界点处，势函数不仅一阶导数为零，而且有一个或多个高阶导数也为零），这被视为突变几何的萌芽。临界点的退化可以通过在参数的微小扰动中将势函数按照[[泰勒级数]]来展开。+ − 当退化点不只是巧合的，而且是结构性稳定的，退化点作为具有较低退化度的特定几何结构的组织中心存在，其周围的参数空间具有临界特征。如果势函数依赖于两个或更少的活动变量以及四个或更少的活动参数，那么对于这些分支几何形状，只有七个通用结构，具有可以通过[[微分同胚]](一种逆光滑的光滑变换)将灾变芽周围的泰勒级数转化为相应的标准形式。{{Citation needed|date=May 2010}}这七种基本类型现在被呈现出来，Thom也给他们取了名字。+ − {{Confusing|reason=Equation parameters are not defined. What is the variable V?|date=March 2020}} − − − − + − <math>V = x^3 + ax\,</math> − − X ^ 3 + ax，/ math − − 第45行：
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{{short description|Area of mathematics}}
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在数学上，突变论是动力学系统研究里[[分岔理论]]的一个分支；而在几何学中，它也是[[奇点理论]]里的一个特殊情形。
分岔理论对环境中微小变化导致系统动力学行为发生突变的现象进行研究和分类，对动力学方程的解如何依赖方程中的参数进行定性分析。这可能会导致突然而剧烈的变化，例如，无法对时间和规模进行预测的滑坡现象。
分岔理论对环境中微小变化导致系统动力学行为发生突变的现象进行研究和分类，对动力学方程的解如何依赖方程中的参数进行定性分析。这可能会导致突然而剧烈的变化，例如，无法对时间和规模进行预测的滑坡现象。
== 基本的灾难 ==
== 基本的灾难 ==
突变论分析势函数的退化临界点（在退化临界点处，势函数不仅一阶导数为零，而且有一个或多个高阶导数也为零），这被视为突变几何的萌芽。临界点的退化可以通过在参数的微小扰动中将势函数按照泰勒级数来展开。
当退化点不只是巧合的，而且是结构性稳定的，退化点作为具有较低退化度的特定几何结构的组织中心存在，其周围的参数空间具有临界特征。如果势函数依赖于两个或更少的活动变量以及四个或更少的活动参数，那么对于这些分支几何形状，只有七个通用结构，具有可以通过微分同胚(一种逆光滑的光滑变换)将灾变芽周围的泰勒级数转化为相应的标准形式。{{Citation needed|date=May 2010}}这七种基本类型现在被呈现出来，Thom也给他们取了名字。
== 一个有效变量的势函数 ==
== 一个有效变量的势函数 ==
=== 折叠灾难 ===
=== 折叠灾难 ===
[[File:fold bifurcation.png|frame|right|160px|稳定和不稳定的极值对在折叠分叉处消失]]
[[File:fold bifurcation.png|frame|right|160px|稳定和不稳定的极值对在折叠分叉处消失]]
:<math>V = x^3 + ax\,</math>
:<math>V = x^3 + ax\,</math>
在负值 a 时，势 v 有两个极值，一个是稳定的，一个是不稳定的。如果参数 a 缓慢增加，系统可以达到稳定的最小点。但在0时，稳定极值与不稳定极值相遇并湮灭。这就是分歧点。这儿不再有一个稳定解。如果一个物理系统经过一个折叠分叉，人们就会发现，当 a 到达0时，解的稳定性会突然丧失，系统也会突然转变为一个新的，非常不同的行为。参数 a 的这个分叉值有时被称为“引爆点”。
在负值 a 时，势 v 有两个极值，一个是稳定的，一个是不稳定的。如果参数 a 缓慢增加，系统可以达到稳定的最小点。但在0时，稳定极值与不稳定极值相遇并湮灭。这就是分歧点。这儿不再有一个稳定解。如果一个物理系统经过一个折叠分叉，人们就会发现，当 a 到达0时，解的稳定性会突然丧失，系统也会突然转变为一个新的，非常不同的行为。参数 a 的这个分叉值有时被称为“[[引爆点]]”。
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=== 尖点灾变 ===
=== 尖点灾变 ===
:<math>V = x^4 + ax^2 + bx \,</math>
:<math>V = x^4 + ax^2 + bx \,</math>
{| style="float:right; clear:right"
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