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[[File:P4_Mandelbrot_set_image.png|256px|thumb|right|曼德布洛特集的细节部分]]
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若一个复二次多项式 <math>f_c(z)=z^2+c</math>，从<math>z=0</math>的前提下，开始递归计算，存在复数<math>c</math>使得该方程无限迭代后的结果能保持有界（即不发散），将满足上述条件的复数<math>c</math>的集合视为一种特殊集。
若一个复二次多项式 <math> f_c(z)=z^2+c </math>，从<math> z=0 </math>的前提下，开始递归计算，存在复数<math> c </math>使得该方程无限迭代后的结果能保持有界（即不发散），将满足上述条件的复数<math> c </math>的集合视为一种特殊集。
[[File:P5_Mandelbrot_sequence_new.gif|256px|thumb|right|放大后的曼德布洛特集]]
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'''阿德里安 · 杜阿迪 Adrien Douady'''为纪念数学家'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot'''而将该特殊集命名为'''曼德布洛特集 Mandelbrot set '''。<ref name="John H. Hubbard 1985">Adrien Douady and John H. Hubbard, ''Etude dynamique des polynômes complexes'', Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)</ref>曼德布洛特集中的复数<math>C</math>使得数列<math>f_c(0), f_c(f_c(0)),\dotsc</math>等在取绝对值后仍保持有界。该集合与'''朱利亚集 Julia set'''有着很深的内在联系，由于他们都使用相同的复二次多项式来进行迭代。朱利亚集也会产生与曼德布洛特集相类似的分形图案。
'''阿德里安 · 杜阿迪 Adrien Douady'''为纪念数学家'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot'''而将该特殊集命名为'''曼德布洛特集 Mandelbrot set '''。<ref name="John H. Hubbard 1985">Adrien Douady and John H. Hubbard, ''Etude dynamique des polynômes complexes'', Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)</ref>曼德布洛特集中的复数<math> c </math>使得数列<math> f_c(0) , f_c(f_c(0)) , \dotsc </math>等在取绝对值后仍保持有界。该集合与'''朱利亚集 Julia set'''有着很深的内在联系，由于他们都使用相同的复二次多项式来进行迭代。朱利亚集也会产生与曼德布洛特集相类似的分形图案。
曼德布洛特集图像可以通过选取不同的复数<math>c</math>，并观察其数列 <math>f_c(0), f_c(f_c(0)),\dotsc</math>是否达到无穷大（实践中通常指其是否在预设迭代次数后离开预设的某个含0在内的有界邻域）来实现：将c的实部作为复平面图像 Complex Plane的横坐标，虚部作为复平面图像的纵坐标，然后根据数列<math>|f_c(0)|,|f_c(f_c(0))|,\dotsc</math>超过主观设定阈值的速度来给每个点染色，若复数<math>c</math>的值在经过预设迭代次数之后没有超过阈值（注意：这里是将曼德布洛特集图像与其补集图像区分开来的标志）则染成特殊的颜色（通常是黑色）。如果复数<math>c</math>保持不变，而<math>z</math>的初始值——通常由<math>z_0</math>来表示——却是一个变量，那么就能得到在简单函数的参数空间 Parameter Space中复数<math>c</math>对应的朱利亚集。
曼德布洛特集图像可以通过选取不同的复数<math> c </math>，并观察其数列 <math> f_c(0) , f_c(f_c(0)) , \dotsc </math>是否达到无穷大（实践中通常指其是否在预设迭代次数后离开预设的某个含0在内的有界邻域）来实现：将c的实部作为复平面图像 Complex Plane的横坐标，虚部作为复平面图像的纵坐标，然后根据数列<math>|f_c(0)|,|f_c(f_c(0))|,\dotsc</math>超过主观设定阈值的速度来给每个点染色，若复数<math> c </math>的值在经过预设迭代次数之后没有超过阈值（注意：这里是将曼德布洛特集图像与其补集图像区分开来的标志）则染成特殊的颜色（通常是黑色）。如果复数<math> c </math>保持不变，而<math> z </math>的初始值——通常由<math> z_0 </math>来表示——却是一个变量，那么就能得到在简单函数的参数空间 Parameter Space中复数<math> c </math>对应的朱利亚集。
曼德布洛特集的图像展示了一条无比精致又无限复杂的分界线，将其不断的放大，就可看到更加精密的、基于递归的细节部分。也就是说，曼德布洛特集的分界线是一条分形曲线。重复出现的细部“样式”由所观测的集合区域所决定。曼德布洛特集的分界线上也包含了集合整体形状的较小版本，因此自相似性的分形特性不仅适用于该集合的局部，还适用于整个集合。
曼德布洛特集的图像展示了一条无比精致又无限复杂的分界线，将其不断的放大，就可看到更加精密的、基于递归的细节部分。也就是说，曼德布洛特集的分界线是一条分形曲线。重复出现的细部“样式”由所观测的集合区域所决定。曼德布洛特集的分界线上也包含了集合整体形状的较小版本，因此自相似性的分形特性不仅适用于该集合的局部，还适用于整个集合。
== 基本性质 ==
== 基本性质 ==
由于曼德布洛特集是一个封闭图形，且包含在以原点为中心，以2为半径的封闭圆盘中。故曼德布洛特集是一个'''紧集 Compact Set'''，更具体地说，对于 <math>n\geq 0.</math> 而言，当且仅当<math>|P_c^n(0)|\leq 2</math>时，复数<math>c</math>属于曼德布洛特集。也就是说，若<math>|P_c^n(0)| </math>大于''2''，则说明其函数值数列发散，所对应的复数<math>c</math>不属于曼德布洛特集。
由于曼德布洛特集是一个封闭图形，且包含在以原点为中心，以2为半径的封闭圆盘中。故曼德布洛特集是一个'''紧集 Compact Set'''，更具体地说，对于 <math>n\geq 0.</math> 而言，当且仅当<math>|P_c^n(0)|\leq 2</math>时，复数<math> c </math>属于曼德布洛特集。也就是说，若<math>|P_c^n(0)| </math>大于''2''，则说明其函数值数列发散，所对应的复数<math> c </math>不属于曼德布洛特集。
[[File:P8_Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg|300px|thumb|right|曼德布洛特集图像与逻辑斯蒂映射中的分叉图之间的关系]]
[[File:P8_Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg|300px|thumb|right|曼德布洛特集图像与逻辑斯蒂映射中的分叉图之间的关系]]
曼德布洛特集的分界线是'''二次族 bifurcation locus'''的分岔轨迹 bifurcation locus，即参数<math>c</math>在极微小的变化下会产生很突然的动力学变化。该分界线是一类多项式双曲线，可被构造成一系列平面代数曲线的极限集。 通过设置 ''p''<sub>0</sub> = ''z'', ''p''<sub>''n''+1</sub> = ''p''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> + ''z''，然后将复平面上的点集''p''<sub>''n''</sub>(''z'')| = 2 转化为实笛卡尔平面 Cartesian Plane上度为2<sup>''n''+1</sup>的在 x 和 y 上的曲线，从而对该曲线进行定义。使用下面所提及的“逃逸时间算法”计算并绘制出来的曼德布洛特集图像中也显示了该分界线。
曼德布洛特集的分界线是'''二次族 bifurcation locus'''的分岔轨迹 bifurcation locus，即参数<math> c </math>在极微小的变化下会产生很突然的动力学变化。该分界线是一类多项式双曲线，可被构造成一系列平面代数曲线的极限集。 通过设置 ''p''<sub>0</sub> = ''z'', ''p''<sub>''n''+1</sub> = ''p''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> + ''z''，然后将复平面上的点集''p''<sub>''n''</sub>(''z'')| = 2 转化为实笛卡尔平面 Cartesian Plane上度为2<sup>''n''+1</sup>的在 x 和 y 上的曲线，从而对该曲线进行定义。使用下面所提及的“逃逸时间算法”计算并绘制出来的曼德布洛特集图像中也显示了该分界线。
[[File:P11_Mandelbrot_Set_–_Periodicities_coloured.png|300px|thumb|right|双曲分量的周期]]
[[File:P11_Mandelbrot_Set_–_Periodicities_coloured.png|300px|thumb|right|双曲分量的周期]]
观察曼德布洛特集的图像，会首先看到中间的心脏形结构。（即图11中的区域1）该心形曲线内部的参数<math>c</math>若满足<math> c = \frac\mu2\left(1-\frac\mu2\right)</math>，
观察曼德布洛特集的图像，会首先看到中间的心脏形结构。（即图11中的区域1）该心形曲线内部的参数<math> c </math>若满足<math> c = \frac\mu2\left(1-\frac\mu2\right)</math>，
其中 <math>\mu</math> 属于单位开圆盘（即在单位圆内的开集区域，开集定义：设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为中心的邻域包含于A，则称A是度量空间X中的一个开集。）,则称这样的点<math>c</math>为复二次映射的周期点，记作<math>P_c</math>。
其中 <math>\mu</math> 属于单位开圆盘（即在单位圆内的开集区域，开集定义：设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为中心的邻域包含于A，则称A是度量空间X中的一个开集。）,则称这样的点<math> c </math>为复二次映射的周期点，记作<math>P_c</math>。
类似这样的“芽苞”突起有无穷多个，它们都与主心脏形结构曲线相切。
类似这样的“芽苞”突起有无穷多个，它们都与主心脏形结构曲线相切。
且满足以下定义：
且满足以下定义：
对于任意有理数 <math>\tfrac{p}{q}</math> ，<math>p</math>、<math>q</math>互素，若参数<math>c</math>满足：
对于任意有理数 <math>\tfrac{p}{q}</math> ，<math>p</math>、<math>q</math>互素，若参数<math> c </math>满足：
每个双曲分量都有一个中心，该中心记作点<math>c</math>，使得<math>P_{c}（z）</math>的内部Fatou区域具有一个超吸性周期循环，即其吸引力是无穷的。这意味着该循环包含临界点0，因此经过数次迭代后，0会回到本身。
每个双曲分量都有一个中心，该中心记作点<math> c </math>，使得<math>P_{c}（z）</math>的内部Fatou区域具有一个超吸性周期循环，即其吸引力是无穷的。这意味着该循环包含临界点0，因此经过数次迭代后，0会回到本身。
::<math>P_c</math><sup>n</sup><math>(0) = 0</math>。
::<math>P_c</math><sup>n</sup><math>(0) = 0</math>。
如果将公式的变量固定为<math>c</math>而不是<math>z</math>,得到：
如果将公式的变量固定为<math> c </math>而不是<math> z </math>,得到：
::<math>Q^{n}(c)</math>。
::<math>Q^{n}(c)</math>。
===与朱利亚集之间的关系===
===与朱利亚集之间的关系===
'''朱利亚集 Julia set'''可由<math>f_c(z)=z^2+c</math>反复迭代得到。与曼德布洛特集不同，其对于复数<math>c</math>进行固定，取某一个<math>z</math>值，（如<math>z=z_0</math>），可以得到数列<math>z_0,f_c(z_0),f_c(f_c(z_0)),f_c(f_c(f_c(z_0)))....</math>。该数列可能趋于无穷大或者始终处于某一范围之内并收敛于某一值。将使该数列不发散的<math>z</math>值集合称为朱利亚集。
'''朱利亚集 Julia set'''可由<math>f_c(z)=z^2+c</math>反复迭代得到。与曼德布洛特集不同，其对于复数<math> c </math>进行固定，取某一个<math> z </math>值，（如<math>z=z_0</math>），可以得到数列<math>z_0,f_c(z_0),f_c(f_c(z_0)),f_c(f_c(f_c(z_0)))....</math>。该数列可能趋于无穷大或者始终处于某一范围之内并收敛于某一值。将使该数列不发散的<math> z </math>值集合称为朱利亚集。
=== 不同缩放比率下的图像库 ===
=== 不同缩放比率下的图像库 ===
当一个人看得越近或放大图像时，达到的放大效果可以让曼德布洛特集显示出更复杂的细节。当将下图不断的放大，缩放到选定的<math>c</math>值形成一个反映其变化的图集时，会给人一种不同几何结构中蕴藏着无限想象力的感觉。下也对于它们的一些典型规则进行说明。
当一个人看得越近或放大图像时，达到的放大效果可以让曼德布洛特集显示出更复杂的细节。当将下图不断的放大，缩放到选定的<math> c </math>值形成一个反映其变化的图集时，会给人一种不同几何结构中蕴藏着无限想象力的感觉。下也对于它们的一些典型规则进行说明。
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这些微小的结构在中间的卫星集处相遇，在这样的放大倍率下，该卫星集太小以至于无法被识别。相应的<math>J_c</math> 的<math>c</math>值不是该图像中心所对应的<math>c</math>值，而是第六个缩放步骤中，相对于曼德布洛特集的主体，其中心所示的相同位置上的卫星集所对应的<math>c</math>值。
这些微小的结构在中间的卫星集处相遇，在这样的放大倍率下，该卫星集太小以至于无法被识别。相应的<math>J_c</math> 的<math> c </math>值不是该图像中心所对应的<math> c </math>值，而是第六个缩放步骤中，相对于曼德布洛特集的主体，其中心所示的相同位置上的卫星集所对应的<math> c </math>值。
为了渲染这样的图像，考虑将复平面区域分割成一定数量的点区域。要为任意点区域着色，设置<math>c</math>作为其点区域的中点。在<math> P_{c}</math>的前提下迭代临界点0，在每一步检查轨道点的模量是否大于2。（即<math>x^2+y^2</math>与<math>2^2</math>的关系）在这种情况下，我们知道<math>c</math>不属于曼德布洛特集。根据判断模量是否大于2所用的迭代次数为点区域着色。否则，我们将继续进行迭代直到遇到逃逸点，然后确定我们的参数“可能”在曼德布洛特集中，或者至少非常接近它，并将点区域涂成黑色。
为了渲染这样的图像，考虑将复平面区域分割成一定数量的点区域。要为任意点区域着色，设置<math> c </math>作为其点区域的中点。在<math> P_{c}</math>的前提下迭代临界点0，在每一步检查轨道点的模量是否大于2。（即<math>x^2+y^2</math>与<math>2^2</math>的关系）在这种情况下，我们知道<math> c </math>不属于曼德布洛特集。根据判断模量是否大于2所用的迭代次数为点区域着色。否则，我们将继续进行迭代直到遇到逃逸点，然后确定我们的参数“可能”在曼德布洛特集中，或者至少非常接近它，并将点区域涂成黑色。
plot(Px, Py, color)
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</source>
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其中，虚拟程序代码中的<math>c</math>, <math>z</math> 和<math>P_c</math>:
其中，虚拟程序代码中的<math> c </math>, <math> z </math> 和<math>P_c</math>:
* <math>z = x + iy\ </math>
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