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我们生活在平直的三维欧氏空间，时间空间仿佛均匀展开。但你有没有想过，生活在双曲空间，比如庞加莱圆盘上，会是怎样奇妙的体验？事实上，我们的意识、记忆或许是在双曲空间运转，双曲空间是复杂网络背后的几何，爱因斯坦构建狭义相对论的闵可夫斯基时空也是双曲面模型。双曲空间到底是什么样？为何吸引黎曼、庞加莱、克莱因、莫比乌斯等数学巨擘探索？今天，我们共同开启一场双曲空间的跨学科之旅。
研究领域：双曲空间, 双曲模型，科学与艺术
作者 ｜胡乔
== 初识双曲空间 ==
难以想象，如果没有画家埃舍尔，多少人将被艰深的双曲几何拒之门外；幸运的是，埃舍尔的系列作品已成为最佳向导，指引我们通向双曲空间。
圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻（图1）：前者的主要形象是各色的鱼，它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛，紧凑排布在一个圆盘上；后者刻画的是天使和恶魔，黑白对立，排列在同样的圆盘上。好好欣赏这些艺术形象吧，不过我们要宣布：圆盘才是具有魔力的，它使所有的鱼都一样大（天使和恶魔也是如此）。
图1 埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ（左）和圆极限Ⅳ（右）
"魔力"圆盘引导我们得到以下发现：
(1) 指数增长的空间。圆盘上的每条鱼都一样大，之所以远离中心的鱼看起来小，并不是鱼真的变小，而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上，圆盘空间是指数级增长的：当半径为 时，圆盘的面积将增长为 ——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量，而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式 不再适用。如果来到圆盘边缘，每一条鱼会显得无限小，此时圆盘装下了整个宇宙。
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），这意味着两点之间的最短距离不再是直线，而是向圆盘中心弯曲的曲线。
图2. 圆盘上两点的距离（红色实线为最短路径) 图3. 圆盘上的三角形（图中三角形角度趋近于0）
三条首尾相接的线段仍然构成三角形，但三角形的内角和不再是180度，而是小于180度。有多小呢，答案是可以趋于0度！
(2) 连续的层级。在圆极限IV上，每位白色天使邻接三个黑色恶魔，恶魔也邻接三位天使，从圆盘中心到边缘层层展开。在圆极限III中，鱼的脊线交织，也形成类似的结构。
这是不是让你想到了无穷分叉的树结构？树结构有一个根节点，从根节点往外层层分叉，树结构的节点数量随着层数指数增长。更重要的是，圆盘上的距离也近似于树结构上的距离：在圆盘上，两点间的最短路线偏向圆盘中心（图2中的红色实线)；在树结构上，两节点的最短距离则要经过它们共同的父节点。
图4. 树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的）
圆盘和树结构的区别仅在于：树的分支互不相通——如果你走错一个分支就必须先返回到上一层，再去探寻另一条分支；而在圆盘上，你既可以按层级行走（沿着分支），也可以径直走过去，路线更加灵活，但距离是相近的。
至此我们已经初识了圆盘模型，它是指数增长的空间，又可以看作连续的树结构，与欧式空间大不相同——感谢埃舍尔的指引，现在可以正式介绍这个“魔力”圆盘了，它全名叫贝尔特拉米-庞加莱圆盘，也常简称庞加莱圆盘，是双曲空间的一种模型。
身在双曲空间会有何种体验呢？举个例子，在庞加莱圆盘上，当一个物体离开你时，它将很快缩小就像突然消失；而当它靠近你时，又会很快变大就像突然闯入——这是一个飘忽而来飘忽而去的世界。
著名的双曲游戏 HyperRogue 就借助这个特性设计场景，可想而知，面对飘忽不定的双曲世界，玩家打怪需要更加绷紧神经。
图5. 欧式空间（上）与双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）
== 细辨双曲模型 ==
尽管庞加莱圆盘已经广为人知，但还远非双曲空间的全部。细致地梳理双曲空间，我们会发现有各种不同的双曲模型，以及模型背后巨擘如云、精彩纷呈的非欧几何史。
曲率、镶嵌、海珊瑚
为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。
图6 三种曲率
空间的大小可以用多边形铺贴法（在数学中叫做镶嵌）来比较。曲率如何影响空间的大小呢？来看一个例子：下图有三种曲面，左边的是平面，用正六边形可以均匀铺满；中间的是足球形（近似球面），铺满这样的球面要用一些更小的正五边形（黑色）来替代正六边形，从而“节约”了一些面积；而右图中需要填充一些正七边形（黑色）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因而增大了一些面积。
图7 曲率与空间的大小
由此可知，正曲率对应的是封闭空间（如球形空间），它使空间收缩（相对于平面)；负曲率对应的是开放式无限空间（如双曲空间）。
你可能会问，负曲率能使空间变得多大呢？首先，曲率有大小：翘曲越多，空间扩张就越多。在下图中，每个交点处拼接了5个正方形，比平面多装下了一块，代价则是平面产生了翘曲。如果我们翘曲更多，例如在一点拼接6个正方形（实际不一定可行），空间就会变得更大。
图8 翘曲的平面（图片来源于Non-EucilideanGeometryExplained )
其次，空间是连续的，在一点处弯曲，邻近的点也跟着弯曲，从单点扩展到区域，整个空间就呈现为指数增长。许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间，从而极大地扩充了体表面积：例如，海珊瑚的尺寸并不大，但如果沿着它的边缘绕上一圈，经过的距离将千百倍的放大。
图9 钩针编织的海珊瑚（图片来源于https://crochetcoralreef.org/）
图10 银耳（图片来源于网络)
至此我们了解了曲率这个重要概念， 而双曲空间正是由曲率来定义的：双曲空间是具有负常数曲率的空间。非同寻常的几何性质，如最短路径是曲线，三角形内角和小于180度等，都是负曲率引起的。如果你继续寻找还能发现更多：在双曲空间里不存在矩形，圆的面积和周长按同样的速度增长，等等。
地图投影
我们已经介绍了庞加莱圆盘和海珊瑚，你可能会疑惑，他们看起来如此不同，真的是同一类空间吗？
这个问题可以类比地图投影来回答：地球只有一个，但是将它展开成地图则有很多种方式。下图展示了常见的三种地图投影——设想地球中心有一盏射灯，光线穿过地球落在投影面上就形成地图。这些地图保留了大部分球面信息，但同时也会产生变形和扭曲。例如第三张地图（著名的墨卡托投影），在南北极附近的变形就很大。
图11 常见的地图投影（图片来源于网络）
与地球-地图投影类似，双曲空间只有一个，而双曲空间模型有很多种。那么猜一猜海珊瑚和庞加莱圆盘谁是真正的双曲空间？答案是——它俩都是投影，而真身并不可见——大数学家希尔伯特证明，双曲空间不能等距的嵌入到3维欧式空间，也就是说我们身处的世界中不可能看到完整的双曲空间。
想象整个双曲空间是困难的， 也是令人兴奋的，它一直可追溯到古希腊数学家欧几里得的平行公设——世世代代的数学家为此追问了上千年，到19世纪终于结出了非欧几何的硕果，使几何学迎来高光时刻。
共形模型
最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。
共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。
图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http://bulatov.org）
共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，以共形圆盘为主题的造型作品层出不穷。
图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)
另一种常见的共形模型是上半平面模型（全称贝尔特拉米-庞加莱半平面，简称半平面模型），它是下部有边界而上部无限开放的半平面。在半平面模型中，自上而下的层级非常显著——类比树结构，半平面上部无穷远处对应着树的根节点，而下部边缘对应叶子节点。
图14 上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科)
图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
在半平面模型中，空间的指数增长在下部边界附近更为显著。由于具有共形性，半平面模型上的平动和转动也保持角度不变。
图15 半平面模型的平动（左）和转动（右)（图片来源于http://bulatov.org）
两种共形模型（圆盘和半平面）之间可以互相变换：圆盘的边缘对应半平面的下边界（叶节点)，而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处(根节点)。这个变换仍然是保角的，叫做莫比乌斯变换。没错，就是发现莫比乌斯环的那位。
图16 莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)
圆盘模型和半平面模型是使用最多的共形模型，但实际上共形模型还有很多种。黎曼映射原理指出，任何单连通（没有洞）的图形都能共形地映射到单位圆内，反之亦然。 也就是说共形模型之间都可以互相变换。
例如Bands模型，使用双曲函数将圆盘展开拉伸，变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。
图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http://bulatov.org）
图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于http://bulatov.org)
有了黎曼映射定理的加持，共形模型还可以变换出星形、环形、螺旋形.…..这就是为什么数学家的信条是，发明（或证明）一个定理才是一件最实用的事！
图19 共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
射影模型
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络)
图21 克莱因圆盘上的距离和圆（圆的大小相等，图片来源于网络)
克莱因圆盘不再是保角的，这意味着圆盘上的图案会发生变形：例如欧式空间的圆在克莱因圆盘上会表现为椭圆形，那么埃舍尔的鱼游到射影圆盘上是什么样子呢？
图22 圆极限克莱因圆盘版 图23 克莱因圆盘上的三角形
（图片来源于书籍Hyperbolic geometry )
也许你不熟悉克莱因圆盘，但是听说过克莱因瓶吗，那个4维空间的瓶子？是的，盘子和瓶子出自同一位。顺便说一句，克莱因瓶是莫比乌斯环的高维对应物。
图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)
双曲面模型
除了共形模型和射影模型，还有一种重要的模型叫双曲面模型，也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义，尤其是与狭义相对论密切相关。
双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。等等，希尔伯特不是说过双曲空间无法嵌入到三维欧式空间吗。没错，但是双曲面嵌入的不是欧式空间，而是闵可夫斯基空间。闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同：在闵可夫斯基空间中的居民看来，双曲面是最完美的几何体，就像我们看待球面一样，它是到定点的距离为定长的点集。
图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ）
除了距离比较反常之外，双曲面模型其实具有很好的对称性，并且符合我们的物理直觉。例如，双曲面模型与过原点的平面相交即为测地线（最短距离)。
前面讲了球面可以有很多种投影，又讲了双曲面是闵可夫斯基空间中的球面，那它也可以有很多投影，于是戏法就来了：从顶点向双曲面投影，在水平面上将得到庞加莱圆盘（注意圆盘上的测地线是曲线）。
图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）
这个投影点其实是双曲面另一个分支的顶点。
图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
从坐标原点向双曲面投影，在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘（注意圆盘上的测地线是直线）。
图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
如果采用平行光线投影，则可以得到Gans模型，Gans模型是另一种共形模型。
如果采用墨卡托投影，甚至可以得到Bands模型......
图28 双曲面与Gans模型（图片来源于网络）
每一条定理、每一个模型都是数学史的浓缩，非欧几何巨擘除了本文已经提到的几位，还有罗巴切夫斯基、曼德布罗特等，双曲空间是巨擘们用数学和想象力创造出来的平行宇宙。
图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）
3.跨学科旅行
如果你能读到这里，大概已经被双曲空间的各种模型看得眼花缭乱了，关于几何的部分就谈论到此，接下来坐稳扶好，让我们开启一场与双曲空间有关的跨学科旅行。限于笔者学识，这场旅行只能浮光掠影，希望能引起读者兴趣，收到抛砖引玉之效。
意识幻觉是双曲空间吗
还记得前面提到过，双曲空间是一个飘忽而来飘忽而去的世界吗？仔细想想，大脑有时好像也是这样！时间流逝，过去的事情在记忆中被压缩得很小，想找也找不着，但是有一点线索牵引，它又突然浮现了。
服用迷幻药物后的体验则更奇特（据可信记录，请勿尝试）：观察者首先觉得周围的图景更加清晰（就像图片处理中的锐化效果），然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间.…..
图30 致幻作用下的视觉体验（图片来源于https://qualiacomputing.com/）
研究者认为大脑在致幻药物作用下感知的意识世界是双曲空间，并给出了详细论证。听起来很迷幻，但却是哈佛大学迷幻科学俱乐部的一项严肃研究，更新的研究进展让我们拭目以待。
双曲空间与相对论
爱因斯坦构建狭义相对论所用的时空正是闵可夫斯基时空，也就是双曲面模型。狭义相对论中，常用光锥来图示化时空，每一点表示一个时空事件。下图中心点代表此时此刻，上部的圆锥是此刻能够影响到的未来，下部的圆锥是能够影响此刻的过去。在这样的系统中，不同观察者的参考系变换对应于双曲空间的等距变换。
图31 光锥图示（图片来源于维基百科)
双曲几何与复杂网络
网络科学创立之初，以其发现的幂律分布、小世界特性（六度空间）而闻名，但是为什么复杂网络具有这些性质，紧接着成为重要的问题。复杂网络的种种特性意味着它不是随机生成的，而是有内在的几何结构(尤其是层级性)，而双曲空间正是复杂网络背后的几何。在生成网络的过程中，如果按节点之间的双曲距离来产生连接，那么网络的度分布、小世界等特性都可以自然的推导出来。当前双曲几何与神经网络深度交叉，已经成为网络科学和机器学习领域的热点问题。
图32 复杂网络的双曲几何（图中紫色区域为双曲圆，中心节点与双曲圆内的节点有更大的概率产生链接，这与真实网络基本吻合，图片来源于论文Generating massive complex networks with hyperbolic geometry faster in practice）
双曲贴现与行为经济学
双曲贴现，指的是人们在评估未来的收益时，倾向于在近期使用更低的折现率，在远期使用更高的折现率——人们常常宁可要眼前较小的利益，也不要日后较多的报酬。
在经济学中，资金由于其时间价值产生复利，并按指数形式增长。但由于人类的认知特点（如对等待的不耐心)，在与预期有关的实际决策中人们中不是按指数效应思考的，非理性决策的结果常常表现为双曲折现率——更追求当下的利益。
双曲贴现是行为经济学的重要基础，它影响了消费和储蓄、上瘾行为、不对称信息和契约设计、资产定价等众多研究。
图33 双曲折现与指数折现（图片来源于网络）
=== 双曲与数据科学 ===
组织和管理海量数据是我们这个时代的迫切需求，而双曲空间的容纳能力和内在层级性是数据治理的有力手段，也是大数据中日益重要的研究方向。
实际上，双曲空间已经在数据科学领域大显身手，例如知识图谱的表示方法中，就有一类运用双曲空间来表示知识的抽象层级；在复杂网络中将节点嵌入双曲空间，可以完成连边预测等任务；基于双曲几何的网络导航也是一种高效的导航算法。由于人类知识体系有着显著的层级特征，用双曲空间相关算法处理知识图谱和其他信息的优势将会得到更多验证。
下图是Meta公司将著名的wordnet知识图谱嵌入到庞加莱圆盘中，图中心是最抽象的节点"实体"，越往外是越具体的对象或概念。
图34 知识图谱的双曲嵌入 （图片来源于https://github.com/facebookresearch/poincare-embeddings）
=== 双曲与艺术 ===
双曲造型是科学和艺术融合的一个典范：双曲几何为艺术家提供了源源不断的素材和灵感，艺术作品则使双曲几何不只躺在数学家的手稿中，而是广泛影响了人类体验。本文在行文中穿插了一些艺术作品，但仅是冰山一角，在建筑、服饰、绘画、游戏、设计等艺术门类中都有鲜明的存在。
图35 广州塔，塔身按单叶双曲面设计（图片来源于https://www.klook.com/）
图36 阳台(埃舍尔,1945） 图37 服饰（该服装形状经旋转可形成双曲面，
图片来源于东京时装展)
图38 双曲主题游戏HyperRogue（图片来源于网络)
图39 双曲扫雷游戏mineswipper
== 4.总结 ==
在本文中，我们从欣赏埃舍尔的画作开始认识双曲空间，随后纵览了双曲空间最重要的几种模型，再沿着学科脉络进行了一番漫游。双曲几何这一领域始于对平行公设的颠覆，历经数代数学家的发展已成知识大厦，并深刻渗透到各个学科和人类活动中。
在双曲旅行即将结束之际，我们来回顾本文内容，列出如下的文章结构——这不过是一个普通的思维导图，但当读者读罢此文，应当意识到这同时也是树结构，并且通向一个广阔的双曲空间。
== 参考资料 ==
双曲几何与半球面模型的几种射影
何为双曲空间？关于非欧几何的可视化解释（第一部）
Conformal Models of Hyperbolic Geometry
钩针编制双曲空间
非欧建筑设计
双曲空间-数学艺术
DMT与双曲几何
Hyperbolic discounting — The irrational behavior that might be rational after all
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研究领域：双曲空间, 双曲模型，科学与艺术
作者 ｜胡乔
== 初识双曲空间 ==
难以想象，如果没有画家埃舍尔，多少人将被艰深的双曲几何拒之门外；幸运的是，埃舍尔的系列作品已成为最佳向导，指引我们通向双曲空间。
圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻（图1）：前者的主要形象是各色的鱼，它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛，紧凑排布在一个圆盘上；后者刻画的是天使和恶魔，黑白对立，排列在同样的圆盘上。好好欣赏这些艺术形象吧，不过我们要宣布：圆盘才是具有魔力的，它使所有的鱼都一样大（天使和恶魔也是如此）。
图1 埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ（左）和圆极限Ⅳ（右）
"魔力"圆盘引导我们得到以下发现：
(1) 指数增长的空间。圆盘上的每条鱼都一样大，之所以远离中心的鱼看起来小，并不是鱼真的变小，而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上，圆盘空间是指数级增长的：当半径为 时，圆盘的面积将增长为 ——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量，而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式 不再适用。如果来到圆盘边缘，每一条鱼会显得无限小，此时圆盘装下了整个宇宙。
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），这意味着两点之间的最短距离不再是直线，而是向圆盘中心弯曲的曲线。
图2. 圆盘上两点的距离（红色实线为最短路径) 图3. 圆盘上的三角形（图中三角形角度趋近于0）
三条首尾相接的线段仍然构成三角形，但三角形的内角和不再是180度，而是小于180度。有多小呢，答案是可以趋于0度！
(2) 连续的层级。在圆极限IV上，每位白色天使邻接三个黑色恶魔，恶魔也邻接三位天使，从圆盘中心到边缘层层展开。在圆极限III中，鱼的脊线交织，也形成类似的结构。
这是不是让你想到了无穷分叉的树结构？树结构有一个根节点，从根节点往外层层分叉，树结构的节点数量随着层数指数增长。更重要的是，圆盘上的距离也近似于树结构上的距离：在圆盘上，两点间的最短路线偏向圆盘中心（图2中的红色实线)；在树结构上，两节点的最短距离则要经过它们共同的父节点。
图4. 树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的）
圆盘和树结构的区别仅在于：树的分支互不相通——如果你走错一个分支就必须先返回到上一层，再去探寻另一条分支；而在圆盘上，你既可以按层级行走（沿着分支），也可以径直走过去，路线更加灵活，但距离是相近的。
至此我们已经初识了圆盘模型，它是指数增长的空间，又可以看作连续的树结构，与欧式空间大不相同——感谢埃舍尔的指引，现在可以正式介绍这个“魔力”圆盘了，它全名叫贝尔特拉米-庞加莱圆盘，也常简称庞加莱圆盘，是双曲空间的一种模型。
身在双曲空间会有何种体验呢？举个例子，在庞加莱圆盘上，当一个物体离开你时，它将很快缩小就像突然消失；而当它靠近你时，又会很快变大就像突然闯入——这是一个飘忽而来飘忽而去的世界。
著名的双曲游戏 HyperRogue 就借助这个特性设计场景，可想而知，面对飘忽不定的双曲世界，玩家打怪需要更加绷紧神经。
图5. 欧式空间（上）与双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）
== 细辨双曲模型 ==
尽管庞加莱圆盘已经广为人知，但还远非双曲空间的全部。细致地梳理双曲空间，我们会发现有各种不同的双曲模型，以及模型背后巨擘如云、精彩纷呈的非欧几何史。
曲率、镶嵌、海珊瑚
为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。
图6 三种曲率
空间的大小可以用多边形铺贴法（在数学中叫做镶嵌）来比较。曲率如何影响空间的大小呢？来看一个例子：下图有三种曲面，左边的是平面，用正六边形可以均匀铺满；中间的是足球形（近似球面），铺满这样的球面要用一些更小的正五边形（黑色）来替代正六边形，从而“节约”了一些面积；而右图中需要填充一些正七边形（黑色）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因而增大了一些面积。
图7 曲率与空间的大小
由此可知，正曲率对应的是封闭空间（如球形空间），它使空间收缩（相对于平面)；负曲率对应的是开放式无限空间（如双曲空间）。
你可能会问，负曲率能使空间变得多大呢？首先，曲率有大小：翘曲越多，空间扩张就越多。在下图中，每个交点处拼接了5个正方形，比平面多装下了一块，代价则是平面产生了翘曲。如果我们翘曲更多，例如在一点拼接6个正方形（实际不一定可行），空间就会变得更大。
图8 翘曲的平面（图片来源于Non-EucilideanGeometryExplained )
其次，空间是连续的，在一点处弯曲，邻近的点也跟着弯曲，从单点扩展到区域，整个空间就呈现为指数增长。许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间，从而极大地扩充了体表面积：例如，海珊瑚的尺寸并不大，但如果沿着它的边缘绕上一圈，经过的距离将千百倍的放大。
图9 钩针编织的海珊瑚（图片来源于https://crochetcoralreef.org/）
图10 银耳（图片来源于网络)
至此我们了解了曲率这个重要概念， 而双曲空间正是由曲率来定义的：双曲空间是具有负常数曲率的空间。非同寻常的几何性质，如最短路径是曲线，三角形内角和小于180度等，都是负曲率引起的。如果你继续寻找还能发现更多：在双曲空间里不存在矩形，圆的面积和周长按同样的速度增长，等等。
地图投影
我们已经介绍了庞加莱圆盘和海珊瑚，你可能会疑惑，他们看起来如此不同，真的是同一类空间吗？
这个问题可以类比地图投影来回答：地球只有一个，但是将它展开成地图则有很多种方式。下图展示了常见的三种地图投影——设想地球中心有一盏射灯，光线穿过地球落在投影面上就形成地图。这些地图保留了大部分球面信息，但同时也会产生变形和扭曲。例如第三张地图（著名的墨卡托投影），在南北极附近的变形就很大。
图11 常见的地图投影（图片来源于网络）
与地球-地图投影类似，双曲空间只有一个，而双曲空间模型有很多种。那么猜一猜海珊瑚和庞加莱圆盘谁是真正的双曲空间？答案是——它俩都是投影，而真身并不可见——大数学家希尔伯特证明，双曲空间不能等距的嵌入到3维欧式空间，也就是说我们身处的世界中不可能看到完整的双曲空间。
想象整个双曲空间是困难的， 也是令人兴奋的，它一直可追溯到古希腊数学家欧几里得的平行公设——世世代代的数学家为此追问了上千年，到19世纪终于结出了非欧几何的硕果，使几何学迎来高光时刻。
共形模型
最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。
共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。
图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http://bulatov.org）
共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，以共形圆盘为主题的造型作品层出不穷。
图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)
另一种常见的共形模型是上半平面模型（全称贝尔特拉米-庞加莱半平面，简称半平面模型），它是下部有边界而上部无限开放的半平面。在半平面模型中，自上而下的层级非常显著——类比树结构，半平面上部无穷远处对应着树的根节点，而下部边缘对应叶子节点。
图14 上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科)
图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
在半平面模型中，空间的指数增长在下部边界附近更为显著。由于具有共形性，半平面模型上的平动和转动也保持角度不变。
图15 半平面模型的平动（左）和转动（右)（图片来源于http://bulatov.org）
两种共形模型（圆盘和半平面）之间可以互相变换：圆盘的边缘对应半平面的下边界（叶节点)，而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处(根节点)。这个变换仍然是保角的，叫做莫比乌斯变换。没错，就是发现莫比乌斯环的那位。
图16 莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)
圆盘模型和半平面模型是使用最多的共形模型，但实际上共形模型还有很多种。黎曼映射原理指出，任何单连通（没有洞）的图形都能共形地映射到单位圆内，反之亦然。 也就是说共形模型之间都可以互相变换。
例如Bands模型，使用双曲函数将圆盘展开拉伸，变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。
图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http://bulatov.org）
图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于http://bulatov.org)
有了黎曼映射定理的加持，共形模型还可以变换出星形、环形、螺旋形.…..这就是为什么数学家的信条是，发明（或证明）一个定理才是一件最实用的事！
图19 共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
射影模型
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络)
图21 克莱因圆盘上的距离和圆（圆的大小相等，图片来源于网络)
克莱因圆盘不再是保角的，这意味着圆盘上的图案会发生变形：例如欧式空间的圆在克莱因圆盘上会表现为椭圆形，那么埃舍尔的鱼游到射影圆盘上是什么样子呢？
图22 圆极限克莱因圆盘版 图23 克莱因圆盘上的三角形
（图片来源于书籍Hyperbolic geometry )
也许你不熟悉克莱因圆盘，但是听说过克莱因瓶吗，那个4维空间的瓶子？是的，盘子和瓶子出自同一位。顺便说一句，克莱因瓶是莫比乌斯环的高维对应物。
图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)
双曲面模型
除了共形模型和射影模型，还有一种重要的模型叫双曲面模型，也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义，尤其是与狭义相对论密切相关。
双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。等等，希尔伯特不是说过双曲空间无法嵌入到三维欧式空间吗。没错，但是双曲面嵌入的不是欧式空间，而是闵可夫斯基空间。闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同：在闵可夫斯基空间中的居民看来，双曲面是最完美的几何体，就像我们看待球面一样，它是到定点的距离为定长的点集。
图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ）
除了距离比较反常之外，双曲面模型其实具有很好的对称性，并且符合我们的物理直觉。例如，双曲面模型与过原点的平面相交即为测地线（最短距离)。
前面讲了球面可以有很多种投影，又讲了双曲面是闵可夫斯基空间中的球面，那它也可以有很多投影，于是戏法就来了：从顶点向双曲面投影，在水平面上将得到庞加莱圆盘（注意圆盘上的测地线是曲线）。
图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）
这个投影点其实是双曲面另一个分支的顶点。
图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
从坐标原点向双曲面投影，在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘（注意圆盘上的测地线是直线）。
图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
如果采用平行光线投影，则可以得到Gans模型，Gans模型是另一种共形模型。
如果采用墨卡托投影，甚至可以得到Bands模型......
图28 双曲面与Gans模型（图片来源于网络）
每一条定理、每一个模型都是数学史的浓缩，非欧几何巨擘除了本文已经提到的几位，还有罗巴切夫斯基、曼德布罗特等，双曲空间是巨擘们用数学和想象力创造出来的平行宇宙。
图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）
3.跨学科旅行
如果你能读到这里，大概已经被双曲空间的各种模型看得眼花缭乱了，关于几何的部分就谈论到此，接下来坐稳扶好，让我们开启一场与双曲空间有关的跨学科旅行。限于笔者学识，这场旅行只能浮光掠影，希望能引起读者兴趣，收到抛砖引玉之效。
意识幻觉是双曲空间吗
还记得前面提到过，双曲空间是一个飘忽而来飘忽而去的世界吗？仔细想想，大脑有时好像也是这样！时间流逝，过去的事情在记忆中被压缩得很小，想找也找不着，但是有一点线索牵引，它又突然浮现了。
服用迷幻药物后的体验则更奇特（据可信记录，请勿尝试）：观察者首先觉得周围的图景更加清晰（就像图片处理中的锐化效果），然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间.…..
图30 致幻作用下的视觉体验（图片来源于https://qualiacomputing.com/）
研究者认为大脑在致幻药物作用下感知的意识世界是双曲空间，并给出了详细论证。听起来很迷幻，但却是哈佛大学迷幻科学俱乐部的一项严肃研究，更新的研究进展让我们拭目以待。
双曲空间与相对论
爱因斯坦构建狭义相对论所用的时空正是闵可夫斯基时空，也就是双曲面模型。狭义相对论中，常用光锥来图示化时空，每一点表示一个时空事件。下图中心点代表此时此刻，上部的圆锥是此刻能够影响到的未来，下部的圆锥是能够影响此刻的过去。在这样的系统中，不同观察者的参考系变换对应于双曲空间的等距变换。
图31 光锥图示（图片来源于维基百科)
双曲几何与复杂网络
网络科学创立之初，以其发现的幂律分布、小世界特性（六度空间）而闻名，但是为什么复杂网络具有这些性质，紧接着成为重要的问题。复杂网络的种种特性意味着它不是随机生成的，而是有内在的几何结构(尤其是层级性)，而双曲空间正是复杂网络背后的几何。在生成网络的过程中，如果按节点之间的双曲距离来产生连接，那么网络的度分布、小世界等特性都可以自然的推导出来。当前双曲几何与神经网络深度交叉，已经成为网络科学和机器学习领域的热点问题。
图32 复杂网络的双曲几何（图中紫色区域为双曲圆，中心节点与双曲圆内的节点有更大的概率产生链接，这与真实网络基本吻合，图片来源于论文Generating massive complex networks with hyperbolic geometry faster in practice）
双曲贴现与行为经济学
双曲贴现，指的是人们在评估未来的收益时，倾向于在近期使用更低的折现率，在远期使用更高的折现率——人们常常宁可要眼前较小的利益，也不要日后较多的报酬。
在经济学中，资金由于其时间价值产生复利，并按指数形式增长。但由于人类的认知特点（如对等待的不耐心)，在与预期有关的实际决策中人们中不是按指数效应思考的，非理性决策的结果常常表现为双曲折现率——更追求当下的利益。
双曲贴现是行为经济学的重要基础，它影响了消费和储蓄、上瘾行为、不对称信息和契约设计、资产定价等众多研究。
图33 双曲折现与指数折现（图片来源于网络）
=== 双曲与数据科学 ===
组织和管理海量数据是我们这个时代的迫切需求，而双曲空间的容纳能力和内在层级性是数据治理的有力手段，也是大数据中日益重要的研究方向。
实际上，双曲空间已经在数据科学领域大显身手，例如知识图谱的表示方法中，就有一类运用双曲空间来表示知识的抽象层级；在复杂网络中将节点嵌入双曲空间，可以完成连边预测等任务；基于双曲几何的网络导航也是一种高效的导航算法。由于人类知识体系有着显著的层级特征，用双曲空间相关算法处理知识图谱和其他信息的优势将会得到更多验证。
下图是Meta公司将著名的wordnet知识图谱嵌入到庞加莱圆盘中，图中心是最抽象的节点"实体"，越往外是越具体的对象或概念。
图34 知识图谱的双曲嵌入 （图片来源于https://github.com/facebookresearch/poincare-embeddings）
=== 双曲与艺术 ===
双曲造型是科学和艺术融合的一个典范：双曲几何为艺术家提供了源源不断的素材和灵感，艺术作品则使双曲几何不只躺在数学家的手稿中，而是广泛影响了人类体验。本文在行文中穿插了一些艺术作品，但仅是冰山一角，在建筑、服饰、绘画、游戏、设计等艺术门类中都有鲜明的存在。
图35 广州塔，塔身按单叶双曲面设计（图片来源于https://www.klook.com/）
图36 阳台(埃舍尔,1945） 图37 服饰（该服装形状经旋转可形成双曲面，
图片来源于东京时装展)
图38 双曲主题游戏HyperRogue（图片来源于网络)
图39 双曲扫雷游戏mineswipper
== 4.总结 ==
在本文中，我们从欣赏埃舍尔的画作开始认识双曲空间，随后纵览了双曲空间最重要的几种模型，再沿着学科脉络进行了一番漫游。双曲几何这一领域始于对平行公设的颠覆，历经数代数学家的发展已成知识大厦，并深刻渗透到各个学科和人类活动中。
在双曲旅行即将结束之际，我们来回顾本文内容，列出如下的文章结构——这不过是一个普通的思维导图，但当读者读罢此文，应当意识到这同时也是树结构，并且通向一个广阔的双曲空间。
== 参考资料 ==
双曲几何与半球面模型的几种射影
何为双曲空间？关于非欧几何的可视化解释（第一部）
Conformal Models of Hyperbolic Geometry
钩针编制双曲空间
非欧建筑设计
双曲空间-数学艺术
DMT与双曲几何
Hyperbolic discounting — The irrational behavior that might be rational after all