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→初识双曲空间
圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻（图1）：前者的主要形象是各色的鱼，它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛，紧凑排布在一个圆盘上；后者刻画的是天使和恶魔，黑白对立，排列在同样的圆盘上。好好欣赏这些艺术形象吧，不过我们要宣布：圆盘才是具有魔力的，它使所有的鱼都一样大（天使和恶魔也是如此）。
圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻（图1）：前者的主要形象是各色的鱼，它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛，紧凑排布在一个圆盘上；后者刻画的是天使和恶魔，黑白对立，排列在同样的圆盘上。好好欣赏这些艺术形象吧，不过我们要宣布：圆盘才是具有魔力的，它使所有的鱼都一样大（天使和恶魔也是如此）。
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文件:图片1-1.png|图1：埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ（左）
文件:图片1-1.png|图1：埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ（左）
文件:图片1-2.png|图1：圆极限Ⅳ（右）
文件:图片1-2.png|图1：圆极限Ⅳ（右）
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），'''这意味着两点之间的最短距离不再是直线'''，而是向圆盘中心弯曲的曲线。
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），'''这意味着两点之间的最短距离不再是直线'''，而是向圆盘中心弯曲的曲线。
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文件:圆盘上两点的距离（红色实线为最短路径).png|图2:圆盘上两点的距离（红色实线为最短路径).png
文件:圆盘上两点的距离（红色实线为最短路径).png|图2:圆盘上两点的距离（红色实线为最短路径).png
文件:圆盘上的三角形（图中三角形角度趋近于0）.png|图3：圆盘上的三角形（图中三角形角度趋近于0）
文件:圆盘上的三角形（图中三角形角度趋近于0）.png|图3：圆盘上的三角形（图中三角形角度趋近于0）
'''(2) 连续的层级。'''在圆极限IV上，每位白色天使邻接三个黑色恶魔，恶魔也邻接三位天使，从圆盘中心到边缘层层展开。在圆极限III中，鱼的脊线交织，也形成类似的结构。
'''(2) 连续的层级。'''在圆极限IV上，每位白色天使邻接三个黑色恶魔，恶魔也邻接三位天使，从圆盘中心到边缘层层展开。在圆极限III中，鱼的脊线交织，也形成类似的结构。
这是不是让你想到了无穷分叉的树结构？树结构有一个根节点，从根节点往外层层分叉，树结构的节点数量随着层数指数增长。更重要的是，圆盘上的距离也近似于树结构上的距离：在圆盘上，两点间的最短路线偏向圆盘中心（图2中的红色实线)；在树结构上，两节点的最短距离则要经过它们共同的父节点。
这是不是让你想到了无穷分叉的树结构？树结构有一个根节点，从根节点往外层层分叉，树结构的节点数量随着层数指数增长。更重要的是，圆盘上的距离也近似于树结构上的距离：在圆盘上，两点间的最短路线偏向圆盘中心（图2中的红色实线)；在树结构上，两节点的最短距离则要经过它们共同的父节点。
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文件:树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的）.png|替代=树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的）|图4：树结构与圆盘
文件:树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的）.png|替代=树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的）|图4：树结构与圆盘
文件:树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的） 2.png|替代=树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的） 2|图4：圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的）
文件:树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的） 2.png|替代=树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的） 2|图4：圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的）
身在双曲空间会有何种体验呢？举个例子，在庞加莱圆盘上，当一个物体离开你时，它将很快缩小就像突然消失；而当它靠近你时，又会很快变大就像突然闯入——这是一个飘忽而来飘忽而去的世界。
身在双曲空间会有何种体验呢？举个例子，在庞加莱圆盘上，当一个物体离开你时，它将很快缩小就像突然消失；而当它靠近你时，又会很快变大就像突然闯入——这是一个飘忽而来飘忽而去的世界。
著名的双曲游戏 HyperRogue 就借助这个特性设计场景，可想而知，面对飘忽不定的双曲世界，玩家打怪需要更加绷紧神经。
著名的双曲游戏 HyperRogue 就借助这个特性设计场景，可想而知，面对飘忽不定的双曲世界，玩家打怪需要更加绷紧神经。
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文件:欧式空间（上）与双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）.gif|图5：欧式空间
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文件:欧式空间（上）与双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）.gif|图5：双曲空间（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）
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文件:欧式空间（上）与双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）.gif|图5：欧式空间（上）
文件:欧式空间（上）与双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）.gif|图5：欧式空间
文件:欧式空间（上）与双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）.gif|图5：双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）
文件:欧式空间（上）与双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）.gif|图5：双曲空间（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）
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