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[[File:第一个图.png|200px|缩略图|右|小世界网络的例子 中心比其他节点大 平均[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theory) 度]3.833 平均最短路径长度1.803 [https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 聚类系数]0.522]]

[[File:第一个图.png|200px|缩略图|右|小世界网络的例子 中心比其他节点大 平均[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theory) 度]3.833 平均最短路径长度1.803 [https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 聚类系数]0.522]]

[[File:第二个图.png|200px|缩略图|右|随机图 平均[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theory) 度]2.833 平均最短路径长度2.109 [https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 聚类系数]0.167]]

[[File:第二个图.png|200px|缩略图|右|随机图 平均[https://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theory) 度]2.833 平均最短路径长度2.109 [https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 聚类系数]0.167]]

'''小世界网络'''是一种[https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_(discrete_mathematics) 数学图]。在此类图中，绝大多数节点彼此之间并不相邻，但任一给定节点的邻居们却很可能彼此是邻居，并且大多数节点都可以从任意其他节点，用较少的步或跳跃访问到。具体来说，小世界网络的定义如下：如果网络中随机选择的两个节点之间的距离<i>L</i>（即访问彼此所需要的步数），与网络中节点数量<i>N</i>的对数成比例增长，（即<ref name="a1">http://www.nature.com/nature/journal/v393/n6684/full/393440a0.html</ref>: <math>L \propto \log N</math>），且网络的[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 集聚系数] Clustering Coefficient不小，那么，这样的网络就是小世界网络。在社交网络中，这种网络属性意味着一些彼此并不相识的人，可以通过一条很短的熟人链条被联系在一起，这也就是[[小世界现象]]。许多经验网络图都展示出了[[小世界现象]]，例如社交网络、互联网的底层架构、诸如Wikipedia的百科类网站以及基因网络等等。

'''小世界网络'''是一种[https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_(discrete_mathematics) 数学图]。在这类图中，绝大多数节点互相并不相邻，但任一给定节点的邻居们却很可能彼此是邻居，并且大多数节点都可以从任意其他节点，用较少的步或跳跃访问到。具体来说，小世界网络的定义如下：如果网络中随机选择的两个节点之间的距离<i>L</i>（即访问彼此所需要的步数），与网络中节点数量<i>N</i>的对数成比例增长，（即<ref name="a1">http://www.nature.com/nature/journal/v393/n6684/full/393440a0.html</ref>: <math>L \propto \log N</math>），且网络的[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 集聚系数] Clustering Coefficient不小，那么，这样的网络就是小世界网络。在社交网络中，这种网络属性意味着一些彼此并不相识的人，可以通过一条很短的熟人链条被联系在一起，这也就是[[小世界现象]]。许多经验网络图都展示出了[[小世界现象]]，例如社交网络、互联网的底层架构、Wikipedia的百科类网站及基因网络等。

1998年，[[Duncan J. Watts]]和[[Steven Strogatz]]提出，小世界网络是一类[[随机图]]<ref name="a2">Watts, Duncan J.; [https://en.wikipedia.org/wiki/Steven_Strogatz Strogatz, Steven H.] (June 1998). "Collective dynamics of 'small-world' networks". Nature. 393 (6684): 440–442. [https://en.wikipedia.org/wiki/Bibcode Bibcode]:[http://adsabs.harvard.edu/abs/1998Natur.393..440W 1998Natur.393..440W]. [https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_object_identifier doi]:[https://doi.org/10.1038/30918 10.1038/30918]. [https://en.wikipedia.org/wiki/PubMed_Identifier PMID] [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/9623998 9623998]. Papercore Summary http://www.papercore.org/Watts1998</ref>。他们指出，这类网络图可以通过两个独立的结构特征，即[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 集聚系数]和平均节点间距离（也称作平均最短路径长度）来进行识别。根据[[ER随机图模型]]构造的纯随机图，会展现出较小的最短路径长度（通常随着节点数对数值的变化而变化）以及较小的集聚系数。Watts和Strogatz验证了这一点，事实上，现实世界中很多网络的平均最短路径长度都较短，而集聚系数又远高于普通随机图。Watts和Strogatz随后提出了一种新的图模型（即现在的[https://en.wikipedia.org/wiki/Watts_and_Strogatz_model Watts-Strogatz模型]），该模型具备两个特征：(1)平均最短路径长度较小，(2)集聚系数较大。1999年，Barthelemy和Amaral最先描述出了Watts-Strogatz模型中“大世界”（诸如栅格网络）与小世界的交叉点性质<ref name="a3">#Barthelemy, M.; Amaral, LAN (1999). "Small-world networks: Evidence for a crossover picture". Phys. Rev. Lett. 82 (15): 3180–3183. [https://en.wikipedia.org/wiki/ArXiv arXiv]:[https://arxiv.org/abs/cond-mat/9903108 cond-mat/9903108]. Bibcode:1999PhRvL..82.3180B. doi:10.1103/PhysRevLett.82.3180.</ref>。在此之后，学界又涌现出了大量的相关研究，其中不乏一些较为精确的度量结果 (Barrat and Weigt, 1999; Dorogovtsev and [https://en.wikipedia.org/wiki/Jos%C3%A9_Fernando_Ferreira_Mendes Mendes]; Barmpoutis and Murray, 2010)。 Braunstein发现<ref name="a4">#Braunstein, Lidia A.; Buldyrev, Sergey V.; Cohen, Reuven; Havlin, Shlomo; Stanley, H. Eugene (2003). "Optimal Paths in Disordered Complex Networks". Physical Review Letters. 91 (16). arXiv:cond-mat/0305051 Freely accessible. Bibcode:2003PhRvL..91p8701B. doi:10.1103/PhysRevLett.91.168701. ISSN 0031-9007.</ref>，对于权值分布非常广的加权ER网络，最佳路径长度会显著增长，其增长速度为<math>N^{\frac{1}{3}}</math>.

1998年，[[Duncan J. Watts]]和[[Steven Strogatz]]提出，小世界网络是一类[[随机图]]<ref name="a2">Watts, Duncan J.; [https://en.wikipedia.org/wiki/Steven_Strogatz Strogatz, Steven H.] (June 1998). "Collective dynamics of 'small-world' networks". Nature. 393 (6684): 440–442. [https://en.wikipedia.org/wiki/Bibcode Bibcode]:[http://adsabs.harvard.edu/abs/1998Natur.393..440W 1998Natur.393..440W]. [https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_object_identifier doi]:[https://doi.org/10.1038/30918 10.1038/30918]. [https://en.wikipedia.org/wiki/PubMed_Identifier PMID] [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/9623998 9623998]. Papercore Summary http://www.papercore.org/Watts1998</ref>。他们指出，这类网络图可以通过两个独立的结构特征，即[https://en.wikipedia.org/wiki/Clustering_coefficient 集聚系数]和平均节点间距离（也称作平均最短路径长度）来进行识别。根据[[ER随机图模型]]构造的纯随机图，会展现出较小的最短路径长度（通常随着节点数对数值的变化而变化）以及较小的集聚系数。Watts和Strogatz验证了这一点，事实上，现实世界中很多网络的平均最短路径长度都较短，而集聚系数又远高于普通随机图。Watts和Strogatz随后提出了一种新的图模型（即现在的[https://en.wikipedia.org/wiki/Watts_and_Strogatz_model Watts-Strogatz模型]），该模型具备两个特征：(1)平均最短路径长度较小，(2)集聚系数较大。1999年，Barthelemy和Amaral最先描述出了Watts-Strogatz模型中“大世界”（诸如栅格网络）与小世界的交叉点性质<ref name="a3">#Barthelemy, M.; Amaral, LAN (1999). "Small-world networks: Evidence for a crossover picture". Phys. Rev. Lett. 82 (15): 3180–3183. [https://en.wikipedia.org/wiki/ArXiv arXiv]:[https://arxiv.org/abs/cond-mat/9903108 cond-mat/9903108]. Bibcode:1999PhRvL..82.3180B. doi:10.1103/PhysRevLett.82.3180.</ref>。在此之后，学界又涌现出了大量的相关研究，其中不乏一些较为精确的度量结果 (Barrat and Weigt, 1999; Dorogovtsev and [https://en.wikipedia.org/wiki/Jos%C3%A9_Fernando_Ferreira_Mendes Mendes]; Barmpoutis and Murray, 2010)。 Braunstein发现<ref name="a4">#Braunstein, Lidia A.; Buldyrev, Sergey V.; Cohen, Reuven; Havlin, Shlomo; Stanley, H. Eugene (2003). "Optimal Paths in Disordered Complex Networks". Physical Review Letters. 91 (16). arXiv:cond-mat/0305051 Freely accessible. Bibcode:2003PhRvL..91p8701B. doi:10.1103/PhysRevLett.91.168701. ISSN 0031-9007.</ref>，对于权值分布非常广的加权ER网络，最佳路径长度会显著增长，其增长速度为<math>N^{\frac{1}{3}}</math>.

:<math> L \propto \log{\log N}</math>

:<math> L \propto \log{\log N}</math>

结果表明，在存在[https://en.wikipedia.org/wiki/White_noise 白噪音]的小世界网络中，会出现随机同步，这意味着，白噪音有助于系统针对中等噪声强度进行更好地同步，而非减少噪音<ref name="a11">#Reihaneh Kouhi Esfahani, Farhad Shahbazi, Keivan Aghababaei Samani (2012). "[https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.86.036204 Noise-induced synchronization in small-world networks of phase oscillators]". Physical Review E. American Physical Society (3).</ref><ref name="a12">#Rodrigues, Francisco A and Peron, Thomas K DM and Ji, Peng and Kurths, J{\"u}rgen} (2016). "[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157315004408 The Kuramoto model in complex networks]". Physics Reports. Elsevier.</ref>。这种现象，与白噪音在[[随机图]]或[[无标度网络]]中的效果形成了鲜明的对比，即应用噪声会降低这些网络中的同步幅度。

结果表明，在存在[https://en.wikipedia.org/wiki/White_noise 白噪音]的小世界网络中，会出现随机同步，这意味着，白噪音有助于系统针对中等噪声强度进行更好地同步，而非减少噪音<ref name="a11">#Reihaneh Kouhi Esfahani, Farhad Shahbazi, Keivan Aghababaei Samani (2012). "[https://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.86.036204 Noise-induced synchronization in small-world networks of phase oscillators]". Physical Review E. American Physical Society (3).</ref><ref name="a12">#Rodrigues, Francisco A and Peron, Thomas K DM and Ji, Peng and Kurths, J{\"u}rgen} (2016). "[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157315004408 The Kuramoto model in complex networks]". Physics Reports. Elsevier.</ref>。这种现象，与白噪音在[[随机图]]或[[无标度网络]]中的效果形成了鲜明的对比，即应用噪声会降低这些网络中的同步幅度，使同步的效率提高。

==小世界网络例子==

==小世界网络例子==

另一个例子就是人与人之间的“[https://en.wikipedia.org/wiki/Six_degrees_of_separation 六度分离]”理论，这里默认的适用[https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_of_discourse 领域]是一群在任意时刻都活着的人。[https://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein 阿尔伯特·爱因斯坦]与[https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_the_Great 亚历山大大帝]之间的分离度，几乎肯定是大于30的<ref name="a17">#Einstein and Alexander the Great lived 2202 years apart. Assuming an age difference of 70 years between any two connected people in the chain that connects the two, this would necessitate at least 32 connections between Einstein and Alexander the Great.</ref>，而且这个世界并不具备小世界属性。一个同样不具备小世界性质的网络还有“曾去同一家学校上学”的网络：如果两个人加入某一所大学的时间差了10年，他们不太可能在学生团体中有共同的熟人。

另一个例子就是人与人之间的“[https://en.wikipedia.org/wiki/Six_degrees_of_separation 六度分离]”理论。该理论的适用条件是假设涉及到的人都同时活着，或者在短期内处于同一组织之中。[https://en.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein 阿尔伯特·爱因斯坦]与[https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_the_Great 亚历山大大帝]之间的分离度，几乎肯定是大于30的<ref name="a17">#Einstein and Alexander the Great lived 2202 years apart. Assuming an age difference of 70 years between any two connected people in the chain that connects the two, this would necessitate at least 32 connections between Einstein and Alexander the Great.</ref>，而且这个世界并不具备小世界属性。一个同样不具备小世界性质的网络还有“曾去同一家学校上学”的网络：如果两个人加入某一所大学的时间差了10年，他们不太可能在学生团体中有共同的熟人。

类似的，消息传播过程中必须要通过的中继站点的数量并不总是很小的。回溯到邮件还需要手工投递或骑马寄送的时期，一封信件从它的起点到终点所需要转手的次数，会比现在大上很多。可视电报（约存在于1800-1850年）时代，消息易手的次数，要由两个站点之间是否是在视线连接范围内决定。

类似的，消息传播过程中必须要通过的中继站点的数量并不总是很少的。回溯到邮件还需要手工投递或骑马寄送的时期，一封信件从它的起点到终点所需要转手的次数，会比现在大上很多。可视电报（约存在于1800-1850年）时代，消息易手的次数，要由两个站点之间是否是在视线连接范围内决定。

如果没有检验隐含假设，可能会对图“望图生义”，偏向于寻找小世界网络（一个例子就是发表性偏倚导致的[https://en.wikipedia.org/wiki/File_drawer_problem#File_drawer_effect 文件抽屉问题] file drawer ）。

如果没有检验隐含假设，可能会对图“望图生义”，偏向于寻找小世界网络（一个例子就是发表性偏倚导致的[https://en.wikipedia.org/wiki/File_drawer_problem#File_drawer_effect 文件抽屉问题] file drawer ）。