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==动力学学习器==
==动力学学习器==
动力学学习器 <math>f_\beta</math> 是一个带有参数的常见前馈神经网络，它在宏观层面上学习有效的马尔可夫动力学。用 <math>f_\beta</math> 替换方程{{EquationNote|2}}中的 <math>\hat{f}_{\phi_q}</math>，并使用 <math>dt = 1</math> 的欧拉方法求解方程 (2)。假设噪声是加性高斯分布（或拉普拉斯分布），则可以将方程{{EquationNote|5}}简化为：
动力学学习器 <math>f_\beta</math> 是一个带有参数的常见前馈神经网络，它在宏观层面上学习有效的马尔可夫动力学。用 <math>f_\beta</math> 替换方程{{EquationNote|2}}中的 <math>\hat{f}_{\phi_q}</math>，并使用 <math>dt = 1</math> 的欧拉方法求解方程 (2)。假设噪声是加性高斯分布（或拉普拉斯分布），则可以将方程{{EquationNote|5}}简化为：
{{NumBlk|:|<blockquote><math>\mathbf{y}(t+1) = \mathbf{y}_t + \int_t^{t+1} f_\beta (\mathbf{y}(\tau), \xi') d\tau \approx \mathbf{y}_t + f_\beta (\mathbf{y}_t)+\xi'</math></blockquote>|{{EquationRef|11}}}}
{{NumBlk|:|<blockquote><math>\mathbf{y}(t+1) = \mathbf{y}_t + \int_t^{t+1} f_\beta (\mathbf{y}(\tau), \xi') d\tau \approx \mathbf{y}_t + f_\beta (\mathbf{y}_t)+\xi'</math></blockquote>|{{EquationRef|9}}}}
其中，<math>\xi' \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)</math> 或 <math>Laplacian(0, \Sigma),</math> <math>\Sigma = diag (\sigma_1^2, \sigma_2^2, ···, \sigma_q^2)</math> 是协方差矩阵，<math>\sigma_i</math> 是第 <math>i</math> 维度的标准差（可以学习或固定）。因此，该动力学的转移概率可被写作：
其中，<math>\xi' \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)</math> 或 <math>Laplacian(0, \Sigma),</math> <math>\Sigma = diag (\sigma_1^2, \sigma_2^2, ···, \sigma_q^2)</math> 是协方差矩阵，<math>\sigma_i</math> 是第 <math>i</math> 维度的标准差（可以学习或固定）。因此，该动力学的转移概率可被写作：
{{NumBlk|:|<blockquote><math>P(\mathbf{y}(t+1)|\mathbf{y}_t) = \mathcal{D}(\mu (\mathbf{y}_t), \Sigma)</math></blockquote>|{{EquationRef|12}}}}
{{NumBlk|:|<blockquote><math>P(\mathbf{y}(t+1)|\mathbf{y}_t) = \mathcal{D}(\mu (\mathbf{y}_t), \Sigma)</math></blockquote>|{{EquationRef|10}}}}
其中，<math>\mathcal{D}</math> 指表示高斯分布或拉普拉斯分布的概率密度函数，<math>\mu (\mathbf{y}_t) \equiv \mathbf{y}_t+f_\beta(\mathbf{y}_t)</math> 是分布的均值向量。
其中，<math>\mathcal{D}</math> 指表示高斯分布或拉普拉斯分布的概率密度函数，<math>\mu (\mathbf{y}_t) \equiv \mathbf{y}_t+f_\beta(\mathbf{y}_t)</math> 是分布的均值向量。
解码器将宏观状态 <math>\mathbf{y}(t + 1)</math> 的预测转换为微观状态 <math>\hat{\mathbf{x}}_{t+1}</math> 的预测。在这个框架中，粗粒化策略 <math>\phi_q</math> 可以分解为双射器 <math>\psi_\alpha</math> 和投影器 <math>\chi_q</math>，因此解码器可以直接通过反转 <math>\psi_\alpha</math> 得到。然而，由于宏观状态的维度是 <math>q</math>，而 <math>\psi_\alpha</math> 的输入维度是 <math>p > q</math>，因此需要用 <math>p-q</math> 维高斯随机向量填充剩余的 <math>p-q</math> 维。对于任何 <math>\phi_q</math>，解码映射可以定义为：
解码器将宏观状态 <math>\mathbf{y}(t + 1)</math> 的预测转换为微观状态 <math>\hat{\mathbf{x}}_{t+1}</math> 的预测。在这个框架中，粗粒化策略 <math>\phi_q</math> 可以分解为双射器 <math>\psi_\alpha</math> 和投影器 <math>\chi_q</math>，因此解码器可以直接通过反转 <math>\psi_\alpha</math> 得到。然而，由于宏观状态的维度是 <math>q</math>，而 <math>\psi_\alpha</math> 的输入维度是 <math>p > q</math>，因此需要用 <math>p-q</math> 维高斯随机向量填充剩余的 <math>p-q</math> 维。对于任何 <math>\phi_q</math>，解码映射可以定义为：
{{NumBlk|:|<blockquote><math>\phi_q^† = \psi_\alpha^{-1} \circ \chi_q^†</math></blockquote>|{{EquationRef|9}}}}
{{NumBlk|:|<blockquote><math>\phi_q^† = \psi_\alpha^{-1} \circ \chi_q^†</math></blockquote>|{{EquationRef|11}}}}
其中，<math>\psi_\alpha^{-1}</math> 是 <math>\psi_\alpha</math> 的反函数，<math>\circ \chi_q^† : \mathbb{R}^q \rightarrow \mathbb{R}^p</math> 定义为：对于任意 <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^p</math>，有
其中，<math>\psi_\alpha^{-1}</math> 是 <math>\psi_\alpha</math> 的反函数，<math>\circ \chi_q^† : \mathbb{R}^q \rightarrow \mathbb{R}^p</math> 定义为：对于任意 <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^p</math>，有
{{NumBlk|:|<blockquote><math>\chi_q^†(\mathbf{x}_q \bigoplus \mathbf{z}_{p-q})</math></blockquote>|{{EquationRef|10}}}}
{{NumBlk|:|<blockquote><math>\chi_q^†(\mathbf{x}_q \bigoplus \mathbf{z}_{p-q})</math></blockquote>|{{EquationRef|12}}}}
其中，<math>\mathbf{z}_{p-q} \sim \mathcal{N}(0, \mathcal{I}_{p-q})</math> 是 <math>p-q</math> 维的高斯随机噪声，<math>\mathcal{I}_{p-q}</math> 是同维度的单位矩阵。这样可以结合 <math>\mathbf{x}_q</math> 和一个来自 <math>p-q</math> 维标准正态分布的随机样本 <math>\mathbf{z}_{p-q}</math> 生成微状态。
其中，<math>\mathbf{z}_{p-q} \sim \mathcal{N}(0, \mathcal{I}_{p-q})</math> 是 <math>p-q</math> 维的高斯随机噪声，<math>\mathcal{I}_{p-q}</math> 是同维度的单位矩阵。这样可以结合 <math>\mathbf{x}_q</math> 和一个来自 <math>p-q</math> 维标准正态分布的随机样本 <math>\mathbf{z}_{p-q}</math> 生成微状态。