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第1行： − + − + + + + + + − + − 下面将定义马尔科夫链上的动力学可逆性，并提出了一个量化指标：近似动力学可逆性。来衡量任意马尔可夫链对动力学可逆性的接近程度。+ − + − + + + + + + + + + + + + + 第62行：
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第173行： − + − \Gamma_{\alpha} − </math>和EI的联系==
无编辑摘要
[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于奇异值分解和动力学可逆性的概念，提出了近似动力学可逆性指标<math>
[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于奇异值分解和动力学可逆性的概念，提出了近似动力学可逆性<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>，用于判断因果涌现的发生以及刻画因果涌现的程度，该方法与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。
</math>，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>可用于量化因果涌现的强度。经过理论推导和数值实验证明，在对因果涌现的判断和量化上，该理论与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论具有相同的效果，且<math>
</math>，用于判断因果涌现的发生,并量化因果涌现的强度。经过理论推导和数值实验证明，在对因果涌现的判断和量化上，该理论与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论具有相同的效果，且<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>和EI在多个方面存在相似之处。此外，该理论还提出了基于SVD的粗粒化方法并进行实验，证明了该粗粒化方法的有效性。
==理论==
==简介==
基于可逆性的因果涌现理论的核心概念是近似动力学可逆性：
<math>\begin{align}
==定义动力学可逆性==
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}\tag{3}\end{align}
</math>
其中<math>
\sigma_{i}
</math>是矩阵P的第i个奇异值。<math>
\alpha\in(0,2)
</math>是参数。
借助<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>可以定义清晰因果涌现和模糊因果涌现的概念，形成完整的量化因果涌现方法。
==基本概念==
下面介绍该理论的几个基本概念，分别是动力学可逆性、近似动力学可逆性、清晰因果涌现和模糊因果涌现。
===动力学可逆性===
对于给定的马尔可夫链<math>
对于给定的马尔可夫链<math>
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
==定义近似动力学可逆性==
===近似动力学可逆性===
下面定义矩阵P的近似动力学可逆性：
下面定义矩阵P的近似动力学可逆性：
</math>确定<ref name="Zhangjiang" />。
</math>确定<ref name="Zhangjiang" />。
===决定性和简并性===
====决定性和简并性====
通过调整参数<math>
通过调整参数<math>
\alpha\in(0,2)
\alpha\in(0,2)
</math>。
</math>。
===归一化及例子===
====归一化====
<math>
<math>
\Gamma_{\alpha=1}
\Gamma_{\alpha=1}
\gamma_{\alpha}
\gamma_{\alpha}
</math>总是小于1。
</math>总是小于1。
==<math>
==与有效信息（EI）的联系==
一方面，EI 表征了马尔可夫链的因果效应强度；另一方面，<math>
一方面，EI 表征了马尔可夫链的因果效应强度；另一方面，<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}