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而且[math]$f_1, ... , f_r$[/math] 为 left Markov features，[math]\{g1, . . . , gr\}[/math] 为 right Markov features.
而且[math]$f_1, ... , f_r$[/math] 为 left Markov features，[math]\{g1, . . . , gr\}[/math] 为 right Markov features.
这个定义可以想象成可压缩的程度，也会是下面的hard partitioning的分组的数量。
Lumpability
Lumpability是一种用于分类的定义，笔者暂时还没找到一个正式的中文翻译，而不同文献对于这个概念的解释也有所不同。
这个概念最早出现在Kemeny, Snell 1976. Finite Markov Chains中。书中的定义是这样的
给定一个partition [math]A=\{A1, A2, ... ,Ar\}[/math]，我们能够用下列公式描述一个粗粒化后的马尔科夫链(lumped process)，且这个转移概率对任何初始状态(starting vector) [math] \pi [/math] 都是一样的：
[math]
Pr_{\pi}[f_0 \in A_i]
Pr_{\pi}[f_1 \in A_j | f_0 \in A_i]
Pr_{\pi}[f_n \in A_t |f_{n-1} \in A_s f_0 \in A_i]
[math]
同时，作者提出了判断一个马尔科夫链对给定partition [math]A=\{A1, A2, ... ,Ar\}[/math]是否lumpable的充分必要条件为
对于任意一对[math]A_i, A_j[/math]，每一个属于[math]A_i[/math]的状态[math]s_k[/math]的[math]p_{kA_j}[/math]都是一样的。
也就是说[math]p_{k A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{k m} = p_{A_i A_j} = p_{k A_j}, k \in A_i[/math]
（未完待续）
（未完待续）