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一方面，EI 表征了马尔可夫链的因果效应强度；另一方面，<math>
一方面，EI 表征了马尔可夫链的因果效应强度；另一方面，<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>可以定量地捕捉马尔可夫链的近似动态可逆性。基于可逆性的因果涌现理论认为，因果关系和可逆性之间有着深刻的联系。首先，如下定理所述，EI 和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math> 有相同的最小值和最大值。
</math>可以定量地捕捉马尔可夫链的近似动力学可逆性。基于可逆性的因果涌现理论认为，因果关系和可逆性之间有着深刻的联系。首先，如下定理所述，EI 和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math> 有相同的最小值和最大值。
'''定理3：'''对于任意 TPM P 和 <math>
'''定理3：'''对于任意 TPM P 和 <math>
</math>，它们也可以达到最小值0。然而，我们可以证明<math>
</math>，它们也可以达到最小值0。然而，我们可以证明<math>
\frac{I}{N}
\frac{I}{N}
</math>并不是EI的唯一最小点,对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0.其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。
</math>并不是EI的唯一最小点,对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0。其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。
'''定理4：'''对于任何TPM P，其有效信息EI的上限为<math>\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，下限为<math>
'''定理4：'''对于任何TPM P，其有效信息EI的上限为<math>\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，下限为<math>
\end{aligned}
\end{aligned}
</math></blockquote>
</math></blockquote>
实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>,这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>,因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>,这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>具有近似线性关系，因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
<blockquote>
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
<math>\begin{aligned}
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
</math>。对于给定实值<math>
</math>。对于给定实值<math>
\epsilon\in[0,\epsilon_{1}]
\epsilon\in[0,\sigma_{1}]
</math>，如果存在整数<math>
</math>，如果存在整数<math>
i\in[1, N)
i\in[1, N)
在实际应用中，必须给出阈值<math>
在实际应用中，必须给出阈值<math>
\epsilon
\epsilon
</math>，因为奇异值可能无限趋近于0，但P是全秩的。可以根据奇异值频谱中的明显截止点来选择<math>
</math>，因为奇异值可能无限趋近于0，但P是满秩的。可以根据奇异值频谱中的明显截止点来选择<math>
\epsilon
\epsilon
</math>。若<math>
</math>。若<math>