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<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
p_{s_k A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{s_k s_m} = p_{A_i A_j}, k \in A_i
p_{s_k A_j} = \frac{1}{|A_j|} \sum_{s_m \in A_j} p_{s_k s_m} = p_{A_i A_j}, k \in A_i
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
#Hard Partitioning，即存在分组矩阵<math>V_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math>；
#Hard Partitioning，即存在分组矩阵<math>V_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math>；
#<math>V</math>是一个lumpable分组。
#<math>V</math>是一个lumpable分组。
==Lumpable正例和反例==
既然hard partition里有lumpable和non-lumpable分组，这里用一个简单的例子提供正例和反例。
我们用到的是这样一个转移矩阵：
<math>
\begin{aligned}
P = P_{s_i s_j} = \left [
\begin{array}{ccc:c}
0.3 & 0.3 & 0.3 & 0.1 \\
0.3 & 0.3 & 0.3 & 0.1 \\
0.3 & 0.3 & 0.3 & 0.1 \\
\hdashline0.1 & 0.1 & 0.1 & 0.7
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>
====正例====
我们可以看到，123行都是一样的，所以把他们分在一组，并把状态4分在另外一组，看起来像是一个合理的正例。
接下来我们来计算一下。
第1组的状态1到第1组的状态2，<math>p_{s_1 A_1} = p_{A_1 A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 s_m} = p_{s_1 s_1} + p_{s_1 s_2} + p_{s_1 s_3} = 0.3 \times 3 = 0.9 </math>
第1组的状态1到第2组的状态4，<math>p_{s_1 A_2} = p_{A_1 A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_1 s_m} = p_{s_1 s_4} = 0.1 </math>
第2组的状态4到第1组的状态1，<math>p_{s_4 A_1} = p_{A_2 A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_4 s_m} = p_{s_4 s_1} + p_{s_4 s_2} + p_{s_4 s_3} = 0.1 \times 3 = 0.3 </math>
第2组的状态4到第2组的状态4，<math>p_{s_4 A_2} = p_{A_2 A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_4 s_m} = p_{s_4 s_4} = 0.7 </math>
<math>
\begin{aligned}
P = P_{A_k A_l} = \left [
\begin{array}{c:c}
0.9 & 0.1 \\
\hdashline0.3 & 0.7
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>
====反例====
现在我们来看一个反例：把状态12分为一组，状态34分为另一组，
同样的，我们来计算一下。这次我们需要对3和4分开计算了。
第1组的状态1到第1组的状态2，<math>p_{s_1 A_1} = p_{A_1 A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 s_m} = p_{s_1 s_1} + p_{s_1 s_2} = 0.3 \times 2 = 0.6 </math>
第1组的状态1到第2组的状态3，<math>p_{s_1 A_2} = p_{A_1 A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_1 s_m} = p_{s_1 s_3} + p_{s_1 s_4} = 0.4 </math>
第2组的状态3到第1组的状态1，<math>p_{s_3 A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_4 s_m} = p_{s_3 s_1} + p_{s_3 s_2} = 0.3 \times 2 = 0.6 </math>
第2组的状态4到第1组的状态1，<math>p_{s_4 A_1} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_4 s_m} = p_{s_4 s_1} + p_{s_4 s_2} = 0.1 \times 2 = 0.2 </math>
这里我们就能看到，<math>p_{s_3 A_1} \neq p_{s_4 A_1}</math>，当同一组的两个状态<math>s_3</math>和<math>s_4</math>对其他组的转移概率不一样的话，如果我们强行按照这样来分组（也没办法强行，因为我们不知道<math>p_{A_2 A_1} = p_{s_3 A_1}</math>还是<math>p_{A_2 A_1} = p_{s_4 A_1}</math>），假设<math>p_{A_2 A_1} = 0.6</math>，我们会发现这样的粗粒化结果违背了一开始的定义，即粗粒化后的'''转移概率对所有的初始微观状态<math>\pi</math>都适用'''。因为当<math>\pi = s_4</math>的时候，<math>p_{A_2 A_1} = 0.6</math>这个转移概率就是错的，即使<math>\pi \neq s_4</math>，任何初始微观状态都会在某时刻达到<math>s_4</math>并导致转移概率出错。
====一个更复杂的正例====
这个三个相同状态的例子可能稍微有点简单，接下来我们来看一个稍微复杂一点的例子：
<math>
\begin{aligned}
P = P_{s_i s_j} = \left [
\begin{array}{cc:cc}
0.2 & 0.4 & 0.3 & 0.1 \\
0.4 & 0.2 & 0.1 & 0.3 \\
\hdashline0.2 & 0.1 & 0.2 & 0.5 \\
0.1 & 0.2 & 0 & 0.7
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>
对于这个马尔科夫矩阵，<math>\{\{1,2\}, \{3,4\}\}</math>是一个lumpable的分组。分组后的转移矩阵为：
<math>
\begin{aligned}
P = P_{A_k A_l} = \left [
\begin{array}{c:c}
0.6 & 0.4 \\
\hdashline0.3 & 0.7
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>
===基于Lumpability的粗粒化方法===
===基于Lumpability的粗粒化方法===
[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图2：Zhang<ref name=":0" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是lumpable马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]
[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图2：Zhang<ref name=":0" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是lumpable马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]
由上面的lumpability公式(3)中我们能获得一个直观上的说法：当马尔科夫矩阵存在block结构，或者状态明显可被分成几类的时候，根据这样的partition，该矩阵就会lumpable，如图2中的<math>\bar{P}</math>所示，把相同的状态（行向量）分成一类的partition显然lumpable。
由上面的lumpability公式(3)和例子中我们能获得一个直观上的说法：当马尔科夫矩阵存在block结构，或者状态明显可被分成几类的时候，根据这样的partition，该矩阵就会lumpable，如图2中的<math>\bar{P}</math>所示，把相同的状态（行向量）分成一类的partition显然lumpable。
但是，有时候有些lumpable的矩阵的状态排序被打乱了（如图一中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图2中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。
但是，有时候有些lumpable的矩阵的状态排序被打乱了（如图一中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图2中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。