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第198行：
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→相似性
== 相似性 ==
== 相似性 ==
'''定理3：'''对于任意 TPM P 和 <math>
\alpha\in(0,2)
</math>，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>的对数和EI都有相同的最小值0和一个共同的极小值点（当<math>
P=\frac{1}{N} I_{N\times{N}}
</math>时取到），其中<math>I</math>是全1矩阵。它们还有相同的最大值<math>\log{N}</math>，最大值点对应于P是一个置换矩阵。
因此当P是可逆的（置换矩阵）时，<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>和EI可以达到最大值<math>
\log{N}
</math>。当<math>
P_{i}=\frac{I}{N},\forall{i}\in[1,N]
</math>，它们也可以达到最小值0。然而，我们可以证明<math>
\frac{I}{N}
</math>并不是EI的唯一最小点，对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0。其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。
'''定理4：'''对于任何TPM P，其有效信息EI的上限为<math>\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，下限为<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}</math>.
因此，有如下不等式：
<blockquote>
<math>
\begin{aligned}
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}\le{EI}\le\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}
\end{aligned}
</math></blockquote>
实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>具有近似线性关系，因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
EI\sim\log\Gamma_{\alpha}.
\end{aligned}
</math>
</blockquote>
根据前文，EI的上界和下界分别是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
根据前文，EI的上界和下界分别是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的线性项。由此还可以推测两者具有近似关系：<math>
</math>的线性项。由此还可以推测两者具有近似关系：<math>