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→格兰杰因果
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其中，<math>p</math>是模型中包含的最大滞后观测值的数量（即模型阶数，<math>p</math> <<math>T</math>），A包含了模型的系数，而<math>ξ_1</math>和<math>ξ_2</math>分别是每个时间序列的残差（即预测误差）。如果在第一（或第二）个方程中引入X<sub>2</sub>（或 X<sub>1</sub>）项后，ξ<sub>1</sub>（或 ξ<sub>2</sub>）的方差减少，那么就可以说X<sub>2</sub> （或X<sub>1</sub> ）格兰杰因果于 X<sub>1</sub>（或 X<sub>2</sub>）。假设X<sub>1</sub>和X<sub>2</sub>是协方差平稳的（即它们的均值和方差不随时间变化），那么这种相互作用的大小可以通过受限模型（<math>R</math>）和非受限模型（<math>U</math>）预测误差方差的对数比率来衡量：
其中，<math>p</math>是模型中包含的最大滞后观测值的数量（即模型阶数，<math>p</math> <<math>T</math>），<math>A</math>包含了模型的系数，而<math>ξ_1</math>和<math>ξ_2</math>分别是每个时间序列的残差（即预测误差）。如果在第一（或第二）个方程中引入X<sub>2</sub>（或 X<sub>1</sub>）项后，ξ<sub>1</sub>（或 ξ<sub>2</sub>）的方差减少，那么就可以说X<sub>2</sub> （或X<sub>1</sub> ）格兰杰因果于 X<sub>1</sub>（或 X<sub>2</sub>）。假设X<sub>1</sub>和X<sub>2</sub>是协方差平稳的（即它们的均值和方差不随时间变化），那么这种相互作用的大小可以通过受限模型（<math>R</math>）和非受限模型（<math>U</math>）预测误差方差的对数比率来衡量：
<math>gc_{2 \to 1} = \log \left( \frac{\mathrm{var}(\xi_{1R(12)})}{\mathrm{var}(\xi_{1U})} \right),</math>
<math>gc_{2 \to 1} = \log \left( \frac{\mathrm{var}(\xi_{1R(12)})}{\mathrm{var}(\xi_{1U})} \right),</math>
其中，ξ₁<sub>R(12)</sub> 是从省略了第一个方程中 <math>X₁</math>的 <math>A₁₂</math>,<sub>j</sub>（对所有 j）系数的模型中得出的，而 ξ<sub>1U</sub> 是从完整模型中得出的。重要的是，格兰杰因果关系很容易推广到多变量的情况，在这种情况下，检验的是在多个变量 X₂...Xₙ 的上下文中的格兰杰因果关系（对所有 Xᵢ ≠ Xⱼ）。在这种情况下，如果当所有其他变量 X₃...Xₙ 的活动也包含在回归模型中时，知道 X₂ 会减少 X₁ 预测误差的方差，那么X₂对 X₁具有格兰杰因果性（参见下文）。有关格兰杰因果关系的教程介绍，请参阅 Seth<ref name="Seth_granger_causality" />。
其中，ξ₁<sub>R(12)</sub> 是从省略了第一个方程中 <math>X₁</math>的 <math>A₁₂</math>,<sub>j</sub>（对所有 <math>j</math>）系数的模型中得出的，而 ξ<sub>1U</sub> 是从完整模型中得出的。重要的是，格兰杰因果关系很容易推广到多变量的情况，在这种情况下，检验的是在多个变量 <math>X₂...Xₙ</math> 的上下文中的格兰杰因果关系（对所有 Xᵢ ≠ Xⱼ）。在这种情况下，如果当所有其他变量 X₃...Xₙ 的活动也包含在回归模型中时，知道 X₂ 会减少 X₁ 预测误差的方差，那么X₂对 X₁具有格兰杰因果性（参见下文）。有关格兰杰因果关系的教程介绍，请参阅 Seth<ref name="Seth_granger_causality" />。
==='''格兰杰自主性'''===
==='''格兰杰自主性'''===