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1. 一个 <math>m \times n</math> 矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 最多有 <math>p</math> 个不同的奇异值。

1. 一个 <math>m \times n</math> 矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 最多有 <math>p</math> 个不同的奇异值。

2. 我们总能在 <math>K^m</math> 中找到一个[[酉基 unitary basis]] <math>\mathbf{U}</math>，其中部分基向量张成 <math>\mathbf{M}</math> 每个奇异值的左奇异向量。

2. 我们总能在 <math>K^m</math> 中找到一个酉基（unitary basis） <math>\mathbf{U}</math>，其中部分基向量张成 <math>\mathbf{M}</math> 每个奇异值的左奇异向量。

3. 同样，我们也能在 <math>K^n</math> 中找到一个酉基 <math>\mathbf{V}</math>，其中部分基向量张成 <math>\mathbf{M}</math> 每个奇异值的右奇异向量。

3. 同样，我们也能在 <math>K^n</math> 中找到一个酉基 <math>\mathbf{V}</math>，其中部分基向量张成 <math>\mathbf{M}</math> 每个奇异值的右奇异向量。

当我们能找到两个线性独立的左（或右）奇异向量时，我们称该奇异值为简并的。如果 <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{u}_2</math> 是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的两个左奇异向量，那么这两个向量的任何归一化线性组合也是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的左奇异向量。右奇异向量也有类似性质。独立的左奇异向量和右奇异向量数量相同，它们出现在 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的相同列中，对应 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中具有相同值 <math>\sigma</math> 的对角元素。

当我们能找到两个线性独立的左（或右）奇异向量时，我们称该奇异值为简并的。如果 <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{u}_2</math> 是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的两个左奇异向量，那么这两个向量的任何归一化线性组合也是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的左奇异向量。右奇异向量也有类似性质。独立的左奇异向量和右奇异向量数量相同，它们出现在 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的相同列中，对应 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中具有相同值 <math>\sigma</math> 的对角元素。

特别地，奇异值为0的左奇异向量和右奇异向量分别包括 <math>\mathbf{M}</math> 的[[余核 cokernel]]和[[核 kernel]]中的所有单位向量。根据[[秩-零化度定理 rank–nullity theorem]]，如果 <math>m \neq n</math>，它们的维数不可能相同。即使所有奇异值都非零，当 <math>m > n</math> 时，余核是非平凡的，此时 <math>\mathbf{U}</math> 用余核中的 <math>m-n</math> 个正交向量填充。相反，当 <math>m < n</math> 时，<math>\mathbf{V}</math> 由核中的 <math>n-m</math> 个正交向量填充。然而，如果存在0的奇异值，<math>\mathbf{U}</math> 或 <math>\mathbf{V}</math> 的额外列已经作为左奇异向量或右奇异向量出现。

特别地，奇异值为0的左奇异向量和右奇异向量分别包括 <math>\mathbf{M}</math> 的余核（cokernel）和核（kernel）中的所有单位向量。根据秩-零化度定理（rank–nullity theorem），如果 <math>m \neq n</math>，它们的维数不可能相同。即使所有奇异值都非零，当 <math>m > n</math> 时，余核是非平凡的，此时 <math>\mathbf{U}</math> 用余核中的 <math>m-n</math> 个正交向量填充。相反，当 <math>m < n</math> 时，<math>\mathbf{V}</math> 由核中的 <math>n-m</math> 个正交向量填充。然而，如果存在0的奇异值，<math>\mathbf{U}</math> 或 <math>\mathbf{V}</math> 的额外列已经作为左奇异向量或右奇异向量出现。

非简并奇异值总有唯一的左奇异向量和右奇异向量，只能乘以单位相位因子 <math>e^{i\varphi}</math>（实数情况下，只能乘以正负号）。因此，如果方阵 <math>\mathbf{M}</math> 的所有奇异值都是非简并且非零的，那么它的奇异值分解是唯一的，只能对 <math>\mathbf{U}</math> 的一列乘以单位相位因子，同时对 <math>\mathbf{V}</math> 的相应列乘以相同的单位相位因子。总的来说，SVD 在对 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的列向量（这些列向量张成每个奇异值的子空间）统一应用任意酉变换，以及对 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的向量（这些向量分别张成 <math>\mathbf{M}</math> 的核和余核）应用任意酉变换的情况下是唯一的。

非简并奇异值总有唯一的左奇异向量和右奇异向量，只能乘以单位相位因子 <math>e^{i\varphi}</math>（实数情况下，只能乘以正负号）。因此，如果方阵 <math>\mathbf{M}</math> 的所有奇异值都是非简并且非零的，那么它的奇异值分解是唯一的，只能对 <math>\mathbf{U}</math> 的一列乘以单位相位因子，同时对 <math>\mathbf{V}</math> 的相应列乘以相同的单位相位因子。总的来说，SVD 在对 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的列向量（这些列向量张成每个奇异值的子空间）统一应用任意酉变换，以及对 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的向量（这些向量分别张成 <math>\mathbf{M}</math> 的核和余核）应用任意酉变换的情况下是唯一的。

===与特征值分解的关系===

===与特征值分解的关系===

奇异值分解具有广泛适用性，可用于任何 <math>m \times n</math> 矩阵，而[[特征值分解 eigenvalue decomposition]]仅限于可对角化的方阵。尽管如此，这两种分解方法仍有密切联系。

奇异值分解具有广泛适用性，可用于任何 <math>m \times n</math> 矩阵，而[[特征值分解]]（eigenvalue decomposition）仅限于可对角化的方阵。尽管如此，这两种分解方法仍有密切联系。

设 <math>\mathbf{M}</math> 的SVD为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math>，则以下两个等式成立：

设 <math>\mathbf{M}</math> 的SVD为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math>，则以下两个等式成立：

等式右侧描述了左侧的特征值分解。由此可得：

等式右侧描述了左侧的特征值分解。由此可得：

1. <math>\mathbf{V}</math> 的列（即右奇异向量）是 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 的[[特征向量 eigenvectors]]。

1. <math>\mathbf{V}</math> 的列（即右奇异向量）是 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 的特征向量（eigenvectors）。

2. <math>\mathbf{U}</math> 的列（即左奇异向量）是 <math>\mathbf{M}\mathbf{M}^*</math> 的特征向量。

2. <math>\mathbf{U}</math> 的列（即左奇异向量）是 <math>\mathbf{M}\mathbf{M}^*</math> 的特征向量。

3. <math>\mathbf{\Sigma}</math> 的非零元素（即非零奇异值）是 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 或 <math>\mathbf{M}\mathbf{M}^*</math> 非零特征值的平方根。

3. <math>\mathbf{\Sigma}</math> 的非零元素（即非零奇异值）是 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 或 <math>\mathbf{M}\mathbf{M}^*</math> 非零特征值的平方根。

当 <math>\mathbf{M}</math> 为正规矩阵（normal matrix）时，根据[[谱定理 spectral theorem]]，我们可以用特征向量的基对其进行酉对角化，得到分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{U}^*</math>。其中 <math>\mathbf{U}</math> 是酉矩阵，<math>\mathbf{D}</math> 是对角线上有复数元素 <math>\sigma_i</math> 的对角矩阵。若 <math>\mathbf{M}</math> 为[[半正定 positive semi-definite]]矩阵，则 <math>\sigma_i</math> 为非负实数，此时分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{U}^*</math> 也是一个奇异值分解。否则，我们可以将每个 <math>\sigma_i</math> 的相位 <math>e^{i\varphi}</math> 移到相应的 <math>\mathbf{V}_i</math> 或 <math>\mathbf{U}_i</math> 中，从而重新表示为SVD形式。SVD与非正规矩阵的联系主要体现在极分解定理：<math>\mathbf{M} = \mathbf{S}\mathbf{R}</math>，其中 <math>\mathbf{S} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{U}^*</math> 是半正定且正规的，<math>\mathbf{R} = \mathbf{U}\mathbf{V}^*</math> 是酉的。

当 <math>\mathbf{M}</math> 为正规矩阵（normal matrix）时，根据谱定理（spectral theorem），我们可以用特征向量的基对其进行酉对角化，得到分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{U}^*</math>。其中 <math>\mathbf{U}</math> 是酉矩阵，<math>\mathbf{D}</math> 是对角线上有复数元素 <math>\sigma_i</math> 的对角矩阵。若 <math>\mathbf{M}</math> 为半正定（positive semi-definite）矩阵，则 <math>\sigma_i</math> 为非负实数，此时分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{U}^*</math> 也是一个奇异值分解。否则，我们可以将每个 <math>\sigma_i</math> 的相位 <math>e^{i\varphi}</math> 移到相应的 <math>\mathbf{V}_i</math> 或 <math>\mathbf{U}_i</math> 中，从而重新表示为SVD形式。SVD与非正规矩阵的联系主要体现在极分解定理：<math>\mathbf{M} = \mathbf{S}\mathbf{R}</math>，其中 <math>\mathbf{S} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{U}^*</math> 是半正定且正规的，<math>\mathbf{R} = \mathbf{U}\mathbf{V}^*</math> 是酉的。

因此，除半正定矩阵外，<math>\mathbf{M}</math> 的特征值分解和SVD虽有关联，但并不相同：特征值分解形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{U}^{-1}</math>，其中 <math>\mathbf{U}</math> 不一定是酉的，<math>\mathbf{D}</math> 不一定是半正定的；而SVD形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是对角的且半正定的，<math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 是酉矩阵，它们除了通过矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 外不一定有关联。值得注意的是，只有非亏损（non-defective）方阵才有特征值分解，而任何 <math>m \times n</math> 矩阵都存在SVD。

因此，除半正定矩阵外，<math>\mathbf{M}</math> 的特征值分解和SVD虽有关联，但并不相同：特征值分解形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{U}^{-1}</math>，其中 <math>\mathbf{U}</math> 不一定是酉的，<math>\mathbf{D}</math> 不一定是半正定的；而SVD形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是对角的且半正定的，<math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 是酉矩阵，它们除了通过矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 外不一定有关联。值得注意的是，只有非亏损（non-defective）方阵才有特征值分解，而任何 <math>m \times n</math> 矩阵都存在SVD。