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第119行： − + − 使用定制的Python程序对系统所有粗粒化尺度进行因果分析[只有[math]EI(S)[/math]最大的SM显示在图中]。数据图绘制使用的是MATLAB。下面，我们考虑空间、时间和时空涌现的案例(空间退化案例见图S1)。 第139行：
第138行： − + − + + +
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正[math]\Delta I_{Eff}[/math]是由于宏观减少了微观尺度的简并性，或增加微观尺度的确定性，也可以由两者同时发生导致。值得注意的是，对微观尺度[math]S_m[/math]进行粗粒化为[math]S_M[/math]过程中导致[math]\Delta I_{Size}[/math]总是负数。所以，因果涌现出现就要求[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增加量要超过[math]\Delta I_{Size}[/math]的减少。
正[math]\Delta I_{Eff}[/math]是由于宏观减少了微观尺度的简并性，或增加微观尺度的确定性，也可以由两者同时发生导致。值得注意的是，对微观尺度[math]S_m[/math]进行粗粒化为[math]S_M[/math]过程中导致[math]\Delta I_{Size}[/math]总是负数。所以，因果涌现出现就要求[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增加量要超过[math]\Delta I_{Size}[/math]的减少。
== 结果 ==
== 变量角度的因果涌现 ==
=== 空间因果涌现 ===
=== 空间因果涌现 ===
=== 时间因果涌现 ===
=== 时间因果涌现 ===
通过时间进行微观状态分组也会有涌现现象发生，将微观时间步骤([math]t_x[/math]) 粗粒化为宏观时间步骤([math]T_x[/math])。图5中的实例中展示了微观的元素，在接收到两个尖峰的输入“burst”时，会响应一个输出burst。因此，元素在输入和输出上可以表示为二阶马尔可夫机制(图5A)。图5B显示，在一个微观时间步内评估得到的因果相互作用是很弱的[[math]EI(S_m) = 0.16 bits[/math];[math]Eff(S_m) = 0.03[/math]]，因为一个微观时间步无法捕捉到二阶机制。相比之下，基于两个微观时间步的因果分析(图5C)可以得到[math]EI = 1.38 bits[/math]和[math]Eff(S_m) = 0.34[/math]。微观状态在时间上分组为宏观状态[math]α = {A_t, A_{t+1}}[/math]和[math]β = {B_t, B_{t+1}}[/math](图5D)，和图2中的空间分组:{00,01,10}= {off}和{11}= {on}相类似。在宏观时间步长上，系统变得完全确定性和非简并，[math]EI(S_M) = 2 bits[/math]，[math]Eff(S_M) = 1[/math], [math]CE(S) = 0.62 bits[/math] (图5E, F)。
通过时间进行微观状态分组也会有涌现现象发生，将微观时间步骤([math]t_x[/math]) 粗粒化为宏观时间步骤([math]T_x[/math])。
[[文件:图5时间因果涌现.png|缩略图]]
图5中的实例中展示了微观的元素，在接收到两个尖峰的输入“burst”时，会响应一个输出burst。因此，元素在输入和输出上可以表示为二阶马尔可夫机制(图5A)。图5B显示，在一个微观时间步内评估得到的因果相互作用是很弱的[[math]EI(S_m) = 0.16 bits[/math];[math]Eff(S_m) = 0.03[/math]]，因为一个微观时间步无法捕捉到二阶机制。相比之下，基于两个微观时间步的因果分析(图5C)可以得到[math]EI = 1.38 bits[/math]和[math]Eff(S_m) = 0.34[/math]。微观状态在时间上分组为宏观状态[math]α = {A_t, A_{t+1}}[/math]和[math]β = {B_t, B_{t+1}}[/math](图5D)，和图2中的空间分组:{00,01,10}= {off}和{11}= {on}相类似。在宏观时间步长上，系统变得完全确定性和非简并，[math]EI(S_M) = 2 bits[/math]，[math]Eff(S_M) = 1[/math], [math]CE(S) = 0.62 bits[/math] (图5E, F)。
[[文件:图5时间因果涌现.png|无框|居左]]
=== 时空因果涌现 ===
=== 时空因果涌现 ===