97
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第1行：
第1行： − + − + − 对马尔科夫链做粗粒化做粗粒化的意义是什么呢？我们看到文献中着重强调这两点：+ 第132行：
第132行： − + 第146行：
第146行： − 第152行：
第151行： − + − −
无编辑摘要
马尔科夫矩阵是指满足每一行和为1的条件的方阵，而马尔科夫链指的是一个n维的状态的序列<math>s_t\ = \{1, ..., n\}_{t}</math>，每一步的状态转换都有马尔科夫矩阵<math>P</math>决定，即<math>p(s_{t+1}) = p(s_t) P</math>。
马尔科夫矩阵是指满足每一行和为1的条件的方阵，而马尔科夫链指的是一个n维的状态的序列<math>s^{(t)}\ = \{1, ..., n\}^{(t)}</math>，每一步的状态转换都有马尔科夫矩阵<math>P</math>决定，即<math>p(s^{(t+1)}) = p(s^{(t)}) P</math>。
<math>P</math>的每一行对应的每个状态转移到其他状态的概率，即<math>p_{ij} = p(s_{t+1} = j | s_t = i)</math>。比如，当<math>s_t</math>等于第一个状态的时候，<math>P</math>的第一行展示了<math>s_{t+1}</math>状态的概率。
<math>P</math>的每一行对应的每个状态转移到其他状态的概率，即<math>p_{ij} = p(s^{(t+1)} = j | s^{(t)} = i)</math>。比如，当<math>s^{(t)}</math>等于第一个状态的时候，<math>P</math>的第一行展示了<math>s^{(t+1)}</math>状态的概率。
对马尔科夫链做粗粒化的意义是什么呢？我们看到文献中着重强调这两点：
#我们在研究一个超大的系统的时候，比如复杂城市系统时，并不会关注每一个微观的状态的变化，在粗粒化中我们希望能过滤掉一些我们不感兴趣的噪声和异质性，而从中微观尺度中总结一些中尺度或宏观尺度的规律；
#我们在研究一个超大的系统的时候，比如复杂城市系统时，并不会关注每一个微观的状态的变化，在粗粒化中我们希望能过滤掉一些我们不感兴趣的噪声和异质性，而从中微观尺度中总结一些中尺度或宏观尺度的规律；
#有些状态的转移概率非常相似，所以可以被看成同一类状态，对这种马尔科夫链做partitioning可以减少系统表示的冗余性；
#有些状态的转移概率非常相似，所以可以被看成同一类状态，对这种马尔科夫链做partitioning可以减少系统表示的冗余性；
# 系统在时间<math>t</math>的微观状态<math>s^{(t)}</math>属于某个宏观状态<math>A_k</math>的概率；
# 系统在时间<math>t</math>的微观状态<math>s^{(t)}</math>属于某个宏观状态<math>A_k</math>的概率；
# 假设在时间<math>t</math>的微观状态<math>s^{(t)}</math>属于某个宏观状态<math>A_k</math>，那么在时间<math>t+1</math>的微观状态<math>s^{(t+1)}</math>属于某个宏观状态<math>A_m</math>的概率；
# 已知在时间<math>t</math>的微观状态<math>s^{(t)}</math>属于某个宏观状态<math>A_k</math>，那么在时间<math>t+1</math>的微观状态<math>s^{(t+1)}</math>属于某个宏观状态<math>A_m</math>的概率；
# 马尔可夫性。
# 马尔可夫性。
无论我们从哪个微观状态<math>s^{(t)}</math>出发，对该<math>s^{(t)}</math>来说，
无论我们从哪个微观状态<math>s^{(t)}</math>出发，对该<math>s^{(t)}</math>来说，
<math>
<math>
&Pr_\pi [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)}\in A_k] \\
&Pr_\pi [s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)}\in A_k] \\
&=Pr[A^{(t)} = A_m | A^{(t-1)} = A_k], \forall A_k \in A \text{（路径1）} \\
&=Pr[A^{(t)} = A_m | A^{(t-1)} = A_k], \forall A_k \in A \text{（路径1）} \\
&=Pr[s^{(t)}\in A_m | s^{(t-1)}=s_i \in A_k], \forall s_i \in S \text{（路径2）}
&=Pr[s^{(t)}\in A_m | s^{(t-1)}=s_i \in A_k], \forall s_i \in A_k \text{（路径2）}
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
无论是走宏观动力学(路径1)还是微观动力学(路径2)，系统的微观状态和宏观状态的对应关系都是相同的，也会以相同的概率到达宏观状态<math>A^{(t+1)}</math>，也就是'''满足了交换律'''。
无论是走宏观动力学(路径1)还是微观动力学(路径2)，系统的微观状态和宏观状态的对应关系都是相同的，也会以相同的概率到达宏观状态<math>A^{(t+1)}</math>，也就是'''满足了交换律'''。