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第175行： − 1. 一个 <math>m \times n</math> 矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 最多有 <math>p</math> 个不同的奇异值。+ − 2. 我们总能在 <math>K^m</math> 中找到一个酉基（unitary basis） <math>\mathbf{U}</math>，其中部分基向量张成 <math>\mathbf{M}</math> 每个奇异值的左奇异向量。+ − 3. 同样，我们也能在 <math>K^n</math> 中找到一个酉基 <math>\mathbf{V}</math>，其中部分基向量张成 <math>\mathbf{M}</math> 每个奇异值的右奇异向量。+
→奇异值、奇异向量及其与SVD的关系
在奇异值分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math> 中，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 的对角线元素即为 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值。<math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>p = \min(m,n)</math> 列分别对应各奇异值的左奇异向量和右奇异向量。因此，上述定理表明：
在奇异值分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math> 中，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 的对角线元素即为 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值。<math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的前 <math>p = \min(m,n)</math> 列分别对应各奇异值的左奇异向量和右奇异向量。因此，上述定理表明：
* 一个 <math>m \times n</math> 矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 最多有 <math>p</math> 个不同的奇异值。
* 我们总能在 <math>K^m</math> 中找到一个酉基（unitary basis） <math>\mathbf{U}</math>，其中部分基向量张成 <math>\mathbf{M}</math> 每个奇异值的左奇异向量。
* 同样，我们也能在 <math>K^n</math> 中找到一个酉基 <math>\mathbf{V}</math>，其中部分基向量张成 <math>\mathbf{M}</math> 每个奇异值的右奇异向量。
当我们能找到两个线性独立的左（或右）奇异向量时，我们称该奇异值为简并的。如果 <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{u}_2</math> 是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的两个左奇异向量，那么这两个向量的任何归一化线性组合也是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的左奇异向量。右奇异向量也有类似性质。独立的左奇异向量和右奇异向量数量相同，它们出现在 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的相同列中，对应 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中具有相同值 <math>\sigma</math> 的对角元素。
当我们能找到两个线性独立的左（或右）奇异向量时，我们称该奇异值为简并的。如果 <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{u}_2</math> 是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的两个左奇异向量，那么这两个向量的任何归一化线性组合也是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的左奇异向量。右奇异向量也有类似性质。独立的左奇异向量和右奇异向量数量相同，它们出现在 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的相同列中，对应 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中具有相同值 <math>\sigma</math> 的对角元素。