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第474行： − 1. <math>\mathbf{M}</math>的左奇异向量是<math>\mathbf{M}\mathbf{M}^{*}</math>的一组正交归一化特征向量。+ − 2. <math>\mathbf{M}</math>的右奇异向量是<math>\mathbf{M}^{*}\mathbf{M}</math>的一组正交归一化特征向量。+ − 3. <math>\mathbf{M}</math>的非零奇异值（在<math>\mathbf{\Sigma}</math>的对角线上）等于<math>\mathbf{M}^{*}\mathbf{M}</math>和<math>\mathbf{M}\mathbf{M}^{*}</math>的非零特征值的平方根。+
→数值方法
我们可以利用以下观察结果计算奇异值分解：
我们可以利用以下观察结果计算奇异值分解：
* <math>\mathbf{M}</math>的左奇异向量是<math>\mathbf{M}\mathbf{M}^{*}</math>的一组正交归一化特征向量。
* <math>\mathbf{M}</math>的右奇异向量是<math>\mathbf{M}^{*}\mathbf{M}</math>的一组正交归一化特征向量。
* <math>\mathbf{M}</math>的非零奇异值（在<math>\mathbf{\Sigma}</math>的对角线上）等于<math>\mathbf{M}^{*}\mathbf{M}</math>和<math>\mathbf{M}\mathbf{M}^{*}</math>的非零特征值的平方根。
通常，我们通过两步计算矩阵<math>\mathbf{M}</math>的SVD。第一步将矩阵简化为双对角矩阵（bidiagonal matrix），假设<math>m \geq n</math>，需要<math>O(mn^{2})</math>次浮点运算（flop）。第二步计算双对角矩阵的SVD，只能通过迭代方法完成。实际上，计算到机器精度就足够了。如果将这个精度视为常数，第二步需要<math>O(n)</math>次迭代，每次迭代花费<math>O(n)</math>次flop。因此，第一步耗时更长，总体成本为<math>O(mn^{2})</math>次flop（Trefethen & Bau III 1997，第31讲）。
通常，我们通过两步计算矩阵<math>\mathbf{M}</math>的SVD。第一步将矩阵简化为双对角矩阵（bidiagonal matrix），假设<math>m \geq n</math>，需要<math>O(mn^{2})</math>次浮点运算（flop）。第二步计算双对角矩阵的SVD，只能通过迭代方法完成。实际上，计算到机器精度就足够了。如果将这个精度视为常数，第二步需要<math>O(n)</math>次迭代，每次迭代花费<math>O(n)</math>次flop。因此，第一步耗时更长，总体成本为<math>O(mn^{2})</math>次flop（Trefethen & Bau III 1997，第31讲）。