更改

其中，<math>\theta_1</math>是朝向感知到的质心的方向（不包括 boid i 的质心），<math>\theta_2</math>是朝向最近 boid 的方向，<math>\theta_3</math>是朝向所有其他 boid 的平均航向（在 20 单位范围内），<math>\theta_2</math>是 boid <math>i</math> 的速度与 20 单位范围内其他 boid 的平均速度的差异，<math>r₁</math>和 <math>r₂</math>是范围 [-0.01, 0.01] 内的随机数。参数向量 <math>α</math>（所有 <math>α</math> ∈ [0,1]）决定了每个因素的相对贡献。环形距离按照标准方式计算，既可以跨越边界也可以不跨越边界。质心位置通过迭代计算以最小化每个boid与其他boid的环形距离（即不是与质心的平均距离，从而避免边界伪影）。

其中，<math>\theta_1</math>是朝向感知到的质心的方向（不包括 boid i 的质心），<math>\theta_2</math>是朝向最近 boid 的方向，<math>\theta_3</math>是朝向所有其他 boid 的平均航向（在 20 单位范围内），<math>\theta_2</math>是 boid <math>i</math> 的速度与 20 单位范围内其他 boid 的平均速度的差异，<math>r₁</math>和 <math>r₂</math>是范围 [-0.01, 0.01] 内的随机数。参数向量 <math>α</math>（所有 <math>α</math> ∈ [0,1]）决定了每个因素的相对贡献。环形距离按照标准方式计算，既可以跨越边界也可以不跨越边界。质心位置通过迭代计算以最小化每个boid与其他boid的环形距离（即不是与质心的平均距离，从而避免边界伪影）。

这里测试了三种不同的条件。条件<math> R</math>（随机）产生了接近随机的 boid 行为<math>\alpha_R = \begin{bmatrix} 0.01 , 0.01 ,0.01 ,0.01 ,0.01 ,0.01 \end{bmatrix} </math>。条件<math> L</math>（低）通过增强对速度匹配的强依赖性引发了较差的群集行为；在这种条件下的 boid 趋向于半刚性的队形移动<math> \alpha_L = \begin{bmatrix} 0.1 , 0.1 , 0.6 , 0.6 \end{bmatrix} </math>。条件<math> H</math>（高）引发了引人注目的群集行为；参数集<math> \alpha_H = \begin{bmatrix} 0.1 , 0.3 , 0.3 , 0.3 \end{bmatrix} </math>是手动选择的。每种条件下 boid 和质心轨迹的示例显示在图 2 中。尽管静态图像无法完全捕捉群集行为的动态特性，但很明显，条件<math> H</math> 下的 boid 轨迹比条件<math>L</math>和<math>R</math>下的更像群集行为。

这里测试了三种不同的条件。条件<math> R</math>（随机）产生了接近随机的 boid 行为<math>\alpha_R = \begin{bmatrix} 0.01 , 0.01 ,0.01 ,0.01 ,0.01 ,0.01 \end{bmatrix} </math>。条件<math> L</math>（低）通过增强对速度匹配的强依赖性引发了较差的群集行为；在这种条件下的 boid 趋向于半刚性的队形移动<math> \alpha_L = \begin{bmatrix} 0.1 , 0.1 , 0.6 , 0.6 \end{bmatrix} </math>。条件<math> H</math>（高）引发了引人注目的群集行为；参数集<math> \alpha_H = \begin{bmatrix} 0.1 , 0.3 , 0.3 , 0.3 \end{bmatrix} </math>是手动选择的。每种条件下 boid 和质心轨迹的示例显示在下图中，左上图为不同条件下线性和非线性格兰杰涌现性的均值和标准差（星号表示统计显著性），其它图为在条件<math>H</math>（高格兰杰涌现性）、<math>L</math>（低格兰杰涌现性）和<math>R</math>（随机）下，boid（灰色）和CM（红色）的示例轨迹（500时间步片段）。尽管静态图像无法完全捕捉群集行为的动态特性，但很明显，条件<math> H</math> 下的 boid 轨迹比条件<math>L</math>和<math>R</math>下的更像群集行为。

[[文件:图2boid.png|无框|图2：boid群的质心（CM）的格兰杰涌现性。左上角：不同条件下线性和非线性格兰杰涌现性的均值和标准差（星号表示统计显著性）。其他面板：在条件<math>H</math>（高格兰杰涌现性）、<math>L</math>（低格兰杰涌现性）和<math>R</math>（随机）下，boid（灰色）和CM（红色）的示例轨迹（500时间步片段）。|替代=|500x500像素]]

[[文件:图2boid.png|无框|图2：boid群的质心（CM）的格兰杰涌现性。左上角：不同条件下线性和非线性格兰杰涌现性的均值和标准差（星号表示统计显著性）。其他面板：在条件<math>H</math>（高格兰杰涌现性）、<math>L</math>（低格兰杰涌现性）和<math>R</math>（随机）下，boid（灰色）和CM（红色）的示例轨迹（500时间步片段）。|替代=|500x500像素]]

=== 鸟群涌现测量 ===

=== 鸟群涌现测量 ===

对于每个条件，boid模拟运行了25次，每次运行持续5000个时间步；在每次运行中，记录了每个boid的x和y坐标以及全局质心。在计算格兰杰涌现性之前，进行了几个预处理步骤。为了降低数据集的维度，并增强对边界效应的鲁棒性，将每对x和y坐标转换为反映环境中心距离的单个变量。前500个数据点被移除，以消除初始瞬态效应，结果得到的时间序列被转换为零均值的等效时间序列。最后，为了确保协方差平稳性<ref name="Seth_causal_connectivity_evolved_neural_networks">{{cite journal|author=Seth A|title=Causal connectivity of evolved neural networks during behavior|journal=Network: Computation in Neural Systems|year=2005|volume=16|issue=35–54}}</ref>，对每个时间序列进行了一级差分处理。预处理完成后，在每个条件下的每次运行中，使用最小二乘回归分别计算了CM的线性和非线性格兰杰涌现性。我选择了模型阶数<math>p = 5</math>和（用于非线性分析的）多项式阶数<math>q=3</math>。模型阶数是基于所有75次运行的平均Akaike信息准则<ref name="Seth_measuring_autonomy" />选定的。

对于每个条件，boid模拟运行了25次，每次运行持续5000个时间步；在每次运行中，记录了每个boid的x和y坐标以及全局质心。在计算格兰杰涌现性之前，进行了几个预处理步骤。为了降低数据集的维度，并增强对边界效应的鲁棒性，将每对x和y坐标转换为反映环境中心距离的单个变量。前500个数据点被移除，以消除初始瞬态效应，结果得到的时间序列被转换为零均值的等效时间序列。最后，为了确保协方差平稳性<ref name="Seth_causal_connectivity_evolved_neural_networks">{{cite journal|author=Seth A|title=Causal connectivity of evolved neural networks during behavior|journal=Network: Computation in Neural Systems|year=2005|volume=16|issue=35–54}}</ref>，对每个时间序列进行了一级差分处理。预处理完成后，在每个条件下的每次运行中，使用最小二乘回归分别计算了CM的线性和非线性格兰杰涌现性。我选择了模型阶数<math>p = 5</math>和（用于非线性分析的）多项式阶数<math>q=3</math>。模型阶数是基于所有75次运行的平均Akaike信息准则<ref name="Seth_measuring_autonomy" />选定的。

图2显示了每个条件下质心的平均线性和非线性格兰杰涌现性。结果证实了高格兰杰涌现性与引人注目的群集行为相关，线性和非线性度量均显示，条件<math>H</math>下的格兰杰涌现性显著高于条件<math>L</math>和<math>R</math>。条件<math>H</math>和<math>L</math>下的所有格兰杰涌现性值都是显著的（格兰杰自主性和格兰杰因果关系的<math>P</math>值均小于<math>10^{-5}</math> ，双尾<math>t</math>检验）；而条件<math>R</math>下的结果则不显著。

上图显示了每个条件下质心的平均线性和非线性格兰杰涌现性。结果证实了高格兰杰涌现性与引人注目的群集行为相关，线性和非线性度量均显示，条件<math>H</math>下的格兰杰涌现性显著高于条件<math>L</math>和<math>R</math>。条件<math>H</math>和<math>L</math>下的所有格兰杰涌现性值都是显著的（格兰杰自主性和格兰杰因果关系的<math>P</math>值均小于<math>10^{-5}</math> ，双尾<math>t</math>检验）；而条件<math>R</math>下的结果则不显著。

为了测试boid模型中不同参数组合下格兰杰涌现性的行为，我在参数空间<math>\alpha(1, 2, 3) \in [0.0, 0.1, \ldots, 1.0]</math> 中计算了每个参数向量的线性和非线性格兰杰涌现性。由于参数<math> \alpha_3 </math>和<math> \alpha_4 </math>都影响同一规则（速度匹配），它们被配对在一起进行评估，并为每个向量进行了三次评估，总共需要 <math> 11 \times 11 \times 11 \times 3 = 3993 </math>次评估。图3显示了穿过三维参数空间的三个正交剖面的格兰杰涌现性；在每个剖面中，向量<math>\alpha_{H}</math>（条件<math>H</math>）由绿色线的交点标记。

为了测试boid模型中不同参数组合下格兰杰涌现性的行为，我在参数空间<math>\alpha(1, 2, 3) \in [0.0, 0.1, \ldots, 1.0]</math> 中计算了每个参数向量的线性和非线性格兰杰涌现性。由于参数<math> \alpha_3 </math>和<math> \alpha_4 </math>都影响同一规则（速度匹配），它们被配对在一起进行评估，并为每个向量进行了三次评估，总共需要 <math> 11 \times 11 \times 11 \times 3 = 3993 </math>次评估。下图显示了穿过三维参数空间的三个正交剖面的格兰杰涌现性，在每个剖面中，向量<math>\alpha_{H}</math>（条件<math>H</math>）由绿色线的交点标记，灰度显示全局CM的平均线性和非线性格兰杰涌现性，每个值是5000时间步的三次评估的平均值，红点表示导致时间序列可靠地非平稳的参数组合。

这些剖面中有几个值得注意的方面。首先，线性和非线性格兰杰涌现性高度相关，这表明即使是线性度量在某些复杂系统中也能提供对涌现属性的洞见。其次，在参数空间的大多数区域中，格兰杰涌现性平滑变化，表明这是一种稳健的度量方法。然而，在某些区域中，出现了明显的跃迁，例如在一些<math>\alpha_1 = 0</math> 的向量与其相邻向量之间的跃迁。格兰杰涌现性对这些跃迁的敏感性表明，它可以有效识别复杂模型中存在非平凡弱涌现的参数区域。

这些剖面中有几个值得注意的方面。首先，线性和非线性格兰杰涌现性高度相关，这表明即使是线性度量在某些复杂系统中也能提供对涌现属性的洞见。其次，在参数空间的大多数区域中，格兰杰涌现性平滑变化，表明这是一种稳健的度量方法。然而，在某些区域中，出现了明显的跃迁，例如在一些<math>\alpha_1 = 0</math> 的向量与其相邻向量之间的跃迁。格兰杰涌现性对这些跃迁的敏感性表明，它可以有效识别复杂模型中存在非平凡弱涌现的参数区域。

[[文件:图3实验.png|居左|无框|替代=|659x659像素]]

[[文件:图3实验.png|居左|无框|替代=|659x659像素]]

=== 鸟群向下因果测量 ===

=== 鸟群向下因果测量 ===

[[文件:图4实验2.png|居左|无框|替代=|500x500像素]]

[[文件:图4实验2.png|居左|无框|替代=|500x500像素]]

 

上图展示了从全局质心到boid个体轨迹的向下（格兰杰）因果关系，涵盖了线性和非线性的格兰杰因果关系测量。在每个条件下，对所有boid和所有25次运行取平均值。结果显示条件<math>H</math>下的向下因果关系显著高于条件<math>L</math>或<math>R</math>。箱线图显示了从全局CM到单个boid的线性和非线性格兰杰因果关系，分别计算了每个条件下所有25次运行中的每个boid（即每个箱线图包含250个值）。非显著的因果关系被设为零（名义阈值为0.01，经过Bonferroni校正为<math>10^{-5}</math> ）。所得分布为非正态分布，并使用Wilcoxon秩和检验比较各条件间的差异。对于线性和非线性分析，所有条件间的中位数成对比较差异均显著（<math> p < 10^{-3}</math> ）。每个箱线图显示下四分位数、中位数和上四分位数值；须线显示剩余数据的范围，‘<math>+</math>’号表示异常值。与涌现与向下因果关系之间的关联一致，向下因果关系的两种测量在条件<math>H</math>下明显高于条件<math>R</math>或<math>L</math>。尽管有这一结果，原则上弱涌现似乎可能在没有向下因果关系的情况下发生（当然，强涌现按定义需要向下因果关系）。拥有可分别应用的弱涌现和向下因果关系的测量方法，使得探索涌现和向下因果关系不同时发生的条件（如果存在）成为可能，从而潜在地细化和深化了涌现的概念。

'''图4：'''条件<math>H</math>下的向下因果关系显著高于条件<math>L</math>或<math>R</math>。箱线图显示了从全局CM到单个boid的线性和非线性格兰杰因果关系，分别计算了每个条件下所有25次运行中的每个boid（即每个箱线图包含250个值）。非显著的因果关系被设为零（名义阈值为0.01，经过Bonferroni校正为<math>10^{-5}</math> ）。所得分布为非正态分布，并使用Wilcoxon秩和检验比较各条件间的差异。对于线性和非线性分析，所有条件间的中位数成对比较差异均显著（<math> p < 10^{-3}</math> ）。每个箱线图显示下四分位数、中位数和上四分位数值；须线显示剩余数据的范围，‘<math>+</math>’号表示异常值。

 

图4展示了从全局质心到boid个体轨迹的向下（格兰杰）因果关系，涵盖了线性和非线性的格兰杰因果关系测量。在每个条件下，对所有boid和所有25次运行取平均值。与涌现与向下因果关系之间的关联一致，向下因果关系的两种测量在条件<math>H</math>下明显高于条件<math>R</math>或<math>L</math>。尽管有这一结果，原则上弱涌现似乎可能在没有向下因果关系的情况下发生（当然，强涌现按定义需要向下因果关系）。拥有可分别应用的弱涌现和向下因果关系的测量方法，使得探索涌现和向下因果关系不同时发生的条件（如果存在）成为可能，从而潜在地细化和深化了涌现的概念。

== 格兰杰涌现方法的局限性 ==

== 格兰杰涌现方法的局限性 ==