更改

\end{align*}</math>

\end{align*}</math>

其中，<math>p</math>是模型中包含的最大滞后观测值的数量（即模型阶数，<math>p</math> <<math>T</math>），<math>A</math>包含了模型的系数，而<math>ξ_1</math>和<math>ξ_2</math>分别是每个时间序列的残差（即预测误差）。如果在第一（或第二）个方程中引入<math>X_2</math>（或<math>X_1</math> ）项后，<math>ξ_1</math>（或<math>ξ_2</math> ）的方差减少，那么就可以说<math>X_2</math> （或 <math>X_1</math> ）格兰杰因果于<math>X_1</math>（或<math>X_2</math> ）。假设<math>X_1</math>和<math>X_2</math>是协方差平稳的（即它们的均值和方差不随时间变化），那么这种相互作用的大小可以通过受限模型（<math>R</math>）和非受限模型（<math>U</math>）预测误差方差的对数比率来衡量：

其中，<math>p</math> 是模型中包含的最大滞后观测值的数量（即模型的阶数，<math>p < T</math>），表示过去 <math>p</math> 个时间点的观测值将被纳入模型。<math>j</math> 是一个索引变量，表示每个滞后步长（从 <math>1</math> 到 <math>p</math>），在每个时间点上依次考虑的过去观测值。<math>A_{11,j}</math>、<math>A_{12,j}</math>、<math>A_{21,j}</math> 和 <math>A_{22,j}</math> 是自回归模型中的系数，表示每个滞后步长 <math>j</math> 对相应变量的影响强度，这些系数是模型学习得到的参数，用于描述不同滞后项的影响。<math>X_1(t - j)</math> 和 <math>X_2(t - j)</math> 分别表示时间 <math>t - j</math> 时刻的变量 <math>X_1</math> 和 <math>X_2</math> 的值，用于反映过去 <math>j</math> 个时间步长对当前值的影响。<math>\xi_1(t)</math> 和 <math>\xi_2(t)</math> 是每个时间序列的残差（或预测误差），表示模型未能解释的部分。如果在第一个（或第二个）方程中引入 <math>X_2</math>（或 <math>X_1</math>）项后，<math>\xi_1</math>（或 <math>\xi_2</math>）的方差减小，那么可以说 <math>X_2</math>（或 <math>X_1</math>）对 <math>X_1</math>（或 <math>X_2</math>）具有格兰杰因果性。

 

假设<math>X_1</math>和<math>X_2</math>是协方差平稳的（即它们的均值和方差不随时间变化），那么这种相互作用的大小可以通过受限模型（<math>R</math>）和非受限模型（<math>U</math>）预测误差方差的对数比率来衡量：

<math>gc_{2 \to 1} = \log \left( \frac{\mathrm{var}(\xi_{1R(12)})}{\mathrm{var}(\xi_{1U})} \right),</math>

<math>gc_{2 \to 1} = \log \left( \frac{\mathrm{var}(\xi_{1R(12)})}{\mathrm{var}(\xi_{1U})} \right),</math>