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第201行：
第201行： − + + + + + − + − + − + − &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &0& \\+ − − &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &0& \\ − + + + + + + + + + + + + + + + + − 我们可以看出，如果当前处于前7个中任意一个状态，下一时刻以等概率转移至7个状态中的某一个，这样的马尔科夫链确定性和非简并性均不高，故EI不高，仅有0.55比特。进一步观察可以发现，前7个状态和最后1个状态间是相互“独立”，处于前7个状态没有机会转移至第8个状态，处于第8个状态则将一直保持在该状态。因此，考虑把前7个状态粗粒化为1个宏观状态，第8个状态为另一个宏观状态，这时的转移概率矩阵将成为一个单位矩阵:+ + + − + − &1 &0& \\ − &0 &1& \\ − \end{pmatrix} − 此时，对状态粗粒化后得到的EI为1比特，因果涌现值的大小<math>CE = EI(f_M) - EI(f_m) = 0.45 bits</math>。+
→状态空间的因果涌现
== 状态空间的因果涌现 ==
== 状态空间的因果涌现 ==
一个简单的基于状态空间因果涌现实例如下：一条离散的马尔科夫链[math]S_m[/math]，每一时刻可能处于8个可能的状态中的一个，转移概率矩阵如下所示：
一个简单的基于状态空间因果涌现实例如下：一条离散的马尔科夫链[math]S_m[/math]，共有4个可能的状态，状态转移概率矩阵如下所示：
{| style="text-align: center;"
|+马尔科夫链示例
|-
|
<math>
<math>
P_m=\begin{pmatrix}
P_m=\begin{pmatrix}
&1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &0& \\
&1/3 &1/3 &1/3 &0& \\
&1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &0& \\
&1/3 &1/3 &1/3 &0& \\
&1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &0& \\
&1/3 &1/3 &1/3 &0& \\
&0 &1 &0 &1& \\
&1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &1/7 &0& \\
&0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1& \\
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>,
||
<math>
P_M=\begin{pmatrix}
&1 &0 & \\
&0 &1 & \\
\end{pmatrix}
</math>.
|-
|[math]\begin{aligned}&Det(P_m)=0.81\ bits,\\&Deg(P_m)=0\ bits,\\&EI(P_m)=0.81\ bits\end{aligned}[/math]||[math]\begin{aligned}&Det(P_M)=1\ bits,\\&Deg(P_M)=0\ bits,\\&EI(P_M)=1\ bits\end{aligned}[/math]
|}
在这个例子中，微观态的转移矩阵是一个4*4的矩阵，其中前三个状态彼此以1/3的概率相互转移，这导致该转移矩阵具有较小的确定性，因此EI也不是很大为0.81。然而，当我们对该矩阵进行粗粒化，也就是把前三个状态合并为一个状态a，而最后一个状态转变为一个宏观态b。这样所有的原本三个微观态彼此之间的转移就变成了宏观态a到a内部的转移了。因此，转移概率矩阵也就变成了[math]P_M[/math]，它的EI为1。在这个例子中，可以计算它的[[因果涌现度量]]为：
<math>
CE=EI(P_M)-EI(P_m)=1-0.81=0.19\ bits
</math>
</math>
即存在着0.19比特的因果涌现。
有时，我们也会根据归一化的EI来计算[[因果涌现度量]]，即：
<math>
<math>
P_M=\begin{pmatrix}
ce=Eff(P_M)-Eff(P_m)=1-0.405=0.595
</math>
</math>
由此可见，由于归一化的EI消除了系统尺寸的影响，因此因果涌现度量更大。
== 变量角度的因果涌现 ==
== 变量角度的因果涌现 ==