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'''必要性部分的证明：'''

'''必要性部分的证明：'''

必要性是指，如果我们想要说明一个马尔可夫链和partition <math>A</math>是lumpable，那么必须满足上述的这个特定条件。

必要性是指，如果我们想要说明一个马尔可夫链和partition <math>A</math>是lumpable，那么就肯定会满足上述的这个特定条件。

不管我们从哪个具体的初始状态<math>\pi</math>开始，只要它属于群组<math>A_i</math>这个集合里，一步之内转移到<math>A_j</math>的概率都不会变。所以，该条件满足。

 

我们设这个（<math>A_i</math>中任意微观状态<math>s_k</math>的）共同的转移概率为<math>\hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。当初始状态<math>\pi</math>属于某个<math>A_i</math>时（<math>\pi \in A_i</math>），<math>p_{s_k \rightarrow A_j} = Pr_{\pi \in A_i} [ (s^{(1)} \in A_j ] = \hat{p}_{A_i \rightarrow A_j}</math>。

 

所以，这说明了，如果一个马尔可夫链的lumped process满足lumpability，那么从任一集合到另一集合的转移概率必须是集合间的固定值，而与集合内的具体状态（不管是<math>\pi</math>还是<math>s_k</math>）无关。这个固定值就是式子（4）定义的宏观状态转移概率，所以满足了该条件。

'''充分性部分的证明：'''

'''充分性部分的证明：'''

从这两个证明里，我们也能看到微观动力学的路径和宏观动力学的路径的一致性。无论我们从<math>A_i</math>中的哪个具体状态<math>s^{(t-1)}</math>开始，只要我们知道当前的宏观状态是<math>A_i</math>，我们就可以预测下一步转移到<math>A_i</math>的概率，而不依赖于<math>s^{(t-1)}</math>。这表明，微观状态的合并（形成宏观状态）不会影响预测的未来状态，因此从<math>s^{(t-1)}</math>出发的两个路径得出的<math>A^{(t)}</math>的概率是一致的。

从这两个证明里，我们也能看到微观动力学的路径和宏观动力学的路径的一致性。无论我们从<math>A_i</math>中的哪个具体状态<math>s^{(t-1)}</math>开始，只要我们知道当前的宏观状态是<math>A_i</math>，我们就可以计算下一步转移到<math>A_j</math>的概率，而不依赖于<math>s^{(t-1)}</math>。这表明，微观<math>s^{(t-1)}</math>->宏观<math>A^{(t-1)}</math>->宏观动力学-><math>A^{(t)}</math>不会影响未来状态的预测，因此从<math>s^{(t-1)}</math>出发的两个路径得出的<math>A^{(t)}</math>的概率是一致的。

所以，lumpability并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个state partition的特质。我们不能直接说某个马尔科夫链是lumpable或non-lumpable，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某几个状态partition是lumpable或non-lumpable。

所以，lumpability并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个state partition的特质。我们不能直接说某个马尔科夫链是lumpable或non-lumpable，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某几个状态partition是lumpable或non-lumpable。

==Lumpability正例和反例==

==Lumpability正例和反例==