更改

虽然SVD不是唯一的，但我们总是可以选择让奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列。这样一来，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（而非 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）就由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定了。

虽然SVD不是唯一的，但我们总是可以选择让奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列。这样一来，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（而非 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）就由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定了。

有时，我们也把SVD称为紧凑SVD（compact SVD）。紧凑型SVD是另一种形如<math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>的分解，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min\left \{ m,n \right \}</math>是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> 半酉矩阵（semi-unitary matrix），<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^* \mathbf{U} = \mathbf{V}^* \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>（单位矩阵）。

有时，我们也把SVD称为紧凑SVD（compact SVD）。紧凑型SVD是另一种形如<math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>的分解，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min\left \{ m,n \right \}</math>，<math>r</math>是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> 半酉矩阵（semi-unitary matrix），<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^* \mathbf{U} = \mathbf{V}^* \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>（单位矩阵）。

SVD在数学上有多种应用，包括计算[[伪逆]]（pseudoinverse）、[[矩阵近似]]（matrix approximation）以及确定矩阵的[[秩]]（rank 线性无关向量的最大个数）、[[值域]]（range）和[[零空间]]（null space）。此外，SVD在科学、工程和统计学的各个领域都很有用，比如[[信号处理]]（signal processing）、[[数据最小二乘拟合]]（least squares fitting of data）和过程控制等。

SVD在数学上有多种应用，包括计算[[伪逆]]（pseudoinverse）、[[矩阵近似]]（matrix approximation）以及确定矩阵的[[秩]]（rank 线性无关向量的最大个数）、[[值域]]（range）和[[零空间]]（null space）。此外，SVD在科学、工程和统计学的各个领域都很有用，比如[[信号处理]]（signal processing）、[[数据最小二乘拟合]]（least squares fitting of data）和过程控制等。