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[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图3：对lumpable和non-lumpable矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]不满足上述两个条件的，都不被定义为lumpable partition。也就是说，不是所有的lumped process都是lumpable的，即使他们的命名方式相似。
[[文件:Lumpable和non-lumpable的例子.png|缩略图|图3：对lumpable和non-lumpable矩阵做粗粒化|替代=|600x600像素]]不满足上述两个条件的，都不被定义为lumpable partition。也就是说，不是所有的lumped process都是lumpable的，即使他们的命名方式相似。
从图3的lumpable例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，lumpable的动力学TPM可以找到一个lumped process，而这个lumped process是满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致的。也就是说，无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。
从图3的lumpable例子中，我们看到对于分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，lumpable的动力学TPM可以找到一个lumped process，而这个lumped process是满足马尔可夫性，且对所有初始状态都保持一致的。也就是说，无论<math>s^{(t)}</math>是什么，<math>\{ s^{(t)}, s^{(t+1)} \}</math>投影到宏观空间上的<math>\{ A^{(t)}, A^{(t+1)} \}</math>的<math> P( A^{(t+1)} | A^{(t)} )</math>都保持一致。
对于例子中的non-lumpable矩阵，我们或许可以给它强制定义一个lumped process的TPM，比如<math> P_1' = \left ( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.4 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>，但这个lumped process并不能对任何微观初始状态保持一致，只能对<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>适用。
对于例子中的non-lumpable矩阵，我们或许可以给它强制定义一个lumped process的TPM，比如<math> P_1' = \left ( \begin{array}{cc} 0.6 & 0.4 \\ 0.2 & 0.8 \\ \end{array} \right )</math>，但这个lumped process并不能对任何微观初始状态保持一致，只能对<math>s^{(t)} = \pi = \left [ \begin{array}{cc}1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ]</math>适用。
我们看到，对于这个分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，马尔科夫矩阵有两个lumped process <math> P_1'</math>和<math> P_2'</math>，而它们各自只适用于一些微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math>，并不满足定义2中的条件，所以<math>A</math>对于这个TPM来说不是一个lumpable partition。事实上，这个TPM只存在一个lumpable partition，就是不做任何的分组，所以它无法按照lumpability的定义进行粗粒化。
我们看到，对于这个分组矩阵<math>\Phi = \left ( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>，马尔科夫矩阵有两个lumped process <math> P_1'</math>和<math> P_2'</math>，而它们各自只适用于一些微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math>，并不满足定义2中的条件，所以<math>A</math>对于这个TPM来说不是一个lumpable partition。事实上，这个TPM只存在一个lumpable partition，就是不做任何的分组，所以它无法按照lumpability的定义进行粗粒化。
===lumpable partition的充分必要条件===
===lumpable partition的充分必要条件===