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===lumpable partition的充分必要条件===

===lumpable partition的充分必要条件===

通过上面的例子，我们可以对lumpable partition有一些直观的理解。我们可以留意到，在lumpable partition中，有两个分组，所以有四个框。每一个框里，每一列相加的和都是一样的，比如左上角的框中，<math>0.3 + 0.3 = 0.2 + 0.4</math>。这就是lumpable partition更通俗的解释，在某些文献中，并不会使用上面提及的定义，而是直接使用这个通俗版的解释。<ref name=":3">中作者指出，这两者之间是存在充分必要条件关系的。

通过上面的例子，我们可以对lumpable partition有一些直观的理解。我们可以留意到，在lumpable partition中，有两个分组，所以有四个框。每一个框里，每一列相加的和都是一样的，比如左上角的框中，<math>0.3 + 0.3 = 0.2 + 0.4</math>。这就是lumpable partition更通俗的解释，在某些文献中，并不会使用上面提及的定义，而是直接使用这个通俗版的解释。中作者指出，这两者之间是存在充分必要条件关系的。

设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math>，<math>p_{A_i \rightarrow A_j} = p(A^{(t)} = A_j | A^{(t-1)} = A_i)</math>

设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k) = \sum_{s_m \in A_i} p_{s_k \rightarrow s_m}</math>，<math>p_{A_i \rightarrow A_j} = p(A^{(t)} = A_j | A^{(t-1)} = A_i)</math>